限时小练7　充要条件

1.(多选)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的为(　　)

A.A∪B＝B   B.(∁UA)∩B＝∅

C.( ∁UA)⊆( ∁UB)   D.A∪(∁UB)＝U

答案　BCD

解析　由Venn图可知，BCD都是充要条件.

2.若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，则A∪B＝R的一个必要不充分条件是________；A∪B＝R的一个充分不必要条件是________.

答案　b≥－3　b≥－1(答案不唯一)

解析　若A∪B＝R，则b≥－2，

故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.

所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.

所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.

3.已知关于x的一元二次方程：①mx2－4x＋4＝0，②x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，m∈Z.求证：方程①和②都有整数解的充要条件是m＝1.

证明　方程①有实根的充要条件是m≠0且Δ＝16－4×4×m≥0，所以m≤1且m≠0.

方程②有实根的充要条件是Δ＝16m2－4(4m2－4m－5)≥0，

解得m≥－.

所以方程①②都有实根的充要条件是

－≤m≤1且m≠0.

又m∈Z，故m＝－1或m＝1.

当m＝－1时，方程①无整数解.

当m＝1时，方程①和②都有整数解.

从而方程①和②都有整数解⇒m＝1，

反之，m＝1⇒方程①和②都有整数解.

所以方程①和②都有整数解的充要条件是m＝1.