初中数学第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.3 整数指数幂第1课时随堂练习题

第十五章  分式

15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力.

2.理解负整数指数幂的意义,熟练运用整数指数幂运算性质进行运算.

【过程与方法】

1.知道负整数指数幂a－n＝(a≠0，n是正整数)，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂，掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数范围内的幂运算.

2.通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义,体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化.

【情感、态度与价值观】

1.通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题,提高学生的学习兴趣和学习主动性.

2. 在数学公式中渗透公式的简洁美、和谐美，随着学习的知识范围的扩展，产生对新知识的渴望与追求的积极情感，形成辩证统一的哲学观和世界观.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的概念.

【教学难点】 

认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、幂结构图等。

学生：直尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程

（一）导入新课

正整数指数幂有以下运算性质：

(1)    (m，n是正整数)
(2)      (m，n是正整数)
(3)   (n是正整数)
(4) (a≠0，m，n是正整数，m＞n)

(5) (n是正整数)
此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)
如果指数是负整数该如何计算呢？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究整数指数幂

教师问1：你会计算它们吗？53÷55＝________；103÷107＝________.

师生共同解答如下：

思路一：53÷55＝＝，103÷107＝＝.

思路二：53÷55＝53－5＝5－2，103÷107＝103－7＝10－4.

教师问2：由以上计算，你能发现什么？

学生回答：发现：5－2＝，10－4＝.

教师问3：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，正整数指数幂的那些运算性质还适用吗？（出示课件4）
    学生讨论后猜想：这些性质还适用.

教师问4：am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？
    学生讨论后回答：m个a相乘的积.

教师问5：那么我们看下面的问题：根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 a3÷a5=？（出示课件5）

学生回答：a3÷a5==  (1)

教师问6：如果把正整数指数幂的运算性质 (a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 的情形也能使用，如何计算？

学生回答：a3÷a5=a3-5=a-2(2)

教师问7：有上边的问题的计算结果，我们可以得到什么？

学生回答：a-2=    

教师问8：在a-2= 中，有什么限制条件吗？为什么呢？  

学生讨论后回答：a≠0，因为分母不能为0.

总结点拨：（出示课件6）

由(1)(2)想到，若规定a-2= (a≠0)，就能使am÷an=am-n 这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：

数学中规定：当n 是正整数时，
这就是说， a-n(a≠0)是an 的倒数．

教师问9：想一想：在引入负整数指数和0指数后，am·an＝am＋n(m，n是正整数)这条性质能否扩大到m，n是整数的情形？（出示课件8）

学生猜想回答：应该可以.

教师问10：请完成下面的题目：

填一填：

(1)a3×a－5＝a3·＝＝a(　)＝a(　)＋(　)，

即a3×a－5＝a(　)＋(　)；

(2)a－3×a－5＝·＝＝(　　)＝a(　)＋(　)，

即a－3×a－5＝a(　)＋(　)；

(3)a0×a－5＝(　　)·＝=(　　)＝a(　)＋(　)，

即a0×a－5＝a(　)＋(　).

学生回答：

（1）a5 ;a2 ;-2;3+(-5);3+(-5)

（2）a3;a5;a8;a-8;(-3)+(-5); (-3)+(-5)

（3）1;a5;a5;a-5;0+(-5);0+(-5)

完成填空后，思考下列问题：

教师问11：从以上填空中你想到了什么？

学生回答：am·an＝am＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.

教师问12：再换其他整数指数验证这个规律.

类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（出示课件9）

学生回答：a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10 ，a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3  ，a0÷a-4=a0-(-4)=a4.

教师讲解：形成定论：am·an＝am＋n这条性质对m，n是任意整数的情形都适用.

总结点拨：（出示课件10）

(1)   (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3) (n 是整数)；     
(4) (m，n 是整数)；
(5) (n 是整数)．
教师问11：试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？（出示课件11）
师生共同解答如下：当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.

当m是负整数时， am表示|m|个相乘.
例：计算：（出示课件12-13）

师生共同解答如下：

解：

2.创设情境，探究整数指数幂的性质

教师问19：继续举例探究：(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，＝在整数指数幂范围内是否适用？（出示课件15）

师生共同解答如下：

根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，， ，因此， ，即同底数幂的除法 可以转化为同底数幂的乘法特别地，
所以，

即商的乘方 可以转化为积的乘方

总结点拨：（出示课件16）

这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：

(1)  (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3)   (n 是整数)．     
例：下列等式是否正确？为什么？（出示课件17）
(1)am÷an=am·a-n；    (2)

师生共同解答如下：

解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，
        ∴am÷an=am·a-n.      故等式正确.
    (2)

故等式正确.

（三）课堂练习（出示课件20-23）

1.下列计算正确的是(         )

A.30=0                         B.-|-3|=-3

C.3-1=-3                        D.=±3

2.下列计算不正确的是(         )
        A.         B.

    C.         D.

3.若0<x<1，则x-1，x，x2的大小关系是(        )

A.x-1<x<x2                           B.x<x2<x-1

C.x2<x<x-1                           D.x2<x-1<x

4. 计算:
     

5. 若 ，试求 的值.

参考答案：

1.B

2.B

3.C

4.

5.解：∵a+a-1=3

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.幂的两个规定：a0＝1(a≠0);

数学中规定：当n 是正整数时，
这就是说， a-n(a≠0)是an 的倒数．

2.幂的三类运算性质：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：

(1) (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3)   (n 是整数)．     
（五）课前预习

预习下节课（15.2.3）145页的相关内容。

了解较小数的科学记数法的表示方法.

七、课后作业

1、教材145页练习1,2

2、计算：

(1)＋×3.140－(－3)3×0.3－1＋(－0.1)－2；

(2)(3m－1n2)－2(m2n－3)－3.

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节内容在学过正整数幂和零指数幂的基础上展开学习的,从同底数幂的除法,要求被除式的指数要大于除式的指数.教材抓住这个条件,展开探索,从约分和同底数幂的除法两个角度“殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性,引出负指数,进而探究幂的运算五条法则同样适用于负指数,使指数得到扩充.

2. 本设计通过将幂指数扩展到全体整数的探索，培养学生抽象的数学思维能力；合理运用公式进行有关计算，培养学生的计算能力以及综合分析问题的能力.其特点主要体现在：(1)以探索为主线；(2)立足已有知识与经验.