上海市黄浦区2022届高三一模数学试题

上海市黄浦区2022届高三一模数学试卷.

2021.12

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.设，已知集合，，若，则__________.

2.不等式的解集为___________.

3.若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________.

4.设且，若函数的反函数的图像过点，则__________.

5.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则__________.

6.圆的圆心到直线的距离为__________.

7.以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是__________.

8.若为内一点，则__________.

9.设无穷等比数列的公比为，且，则该数列的各项和的最小值为__________.

10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，若要求男、女教师都有，则选取方式的种数为_______（结果用数值表示）

11.设，若曲线与直线有公共点，则的取值范围是__________.

12.若数列满足，且，则的最小值为__________.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数为（    ）

A.   B.   C.   D.

14.若，则“、均为实数”是“是实数”的（    ）条件

A.充分非必要   B.必要非充分   C.充要   D.非充分非必要

15.下列不等式中，与不等式解集相同的是（    ）

A.   B.

C.    D.

16.设为正实数，若存在，使得，则的值可以是（    ）

A.1   B.2   C.3   D.4

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.在直三棱柱中，，.

（1）求异面直线与AC所成角的大小；

（2）若与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积.

18.已知直线与函数、的图像分别交于M、N两点.

（1）当时，求的值；

（2）求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点.

19.某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理.根据预测，解答下列问题：

（1）求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨?（结果精确到0.1万吨）

（2）该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%?

20.设常数且，椭圆：，点是上的动点.

（1）若点的坐标为，求的焦点坐标；

（2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；

（3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值.

21.设函数定义在区间上，若对任意的，当且时，不等式成立，就称函数具有M性质.

（1）判断函数，是否具有M性质，并说明理由；

（2）已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的，且，有；

（3）①已知函数，具有M性质，证明：对任意的，有，其中等号当且仅当时成立；

②已知函数，具有M性质，若A、B、C为三角形ABC的内角，求的最大值.