上海市黄浦区2023-2024学年高三上学期期中教学质量调研测试（一模）数学试题

这是一份上海市黄浦区2023-2024学年高三上学期期中教学质量调研测试（一模）数学试题，共9页。


一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．已知集合，，则 ．
2．若函数为偶函数，则实数a的值为 ．
3．已知复数为虚数单位)，则满足的复数为 ．
4．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为 ．
5．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为 ．
6．若棱长为2的正方体的所有顶点都在同一球面上，则该球的体积为 ．
7．某城市30天的空气质量指数如下：29，26，27，29，38，29，26，26，40，51，35，44，33，67，80，86，65，53，70，34，36，41，31，38，63，60，56，34，44，31．则这组数据的第75百分位数为 ．
8．在中，三个内角的对边长分别为，若，则的值为 ．
（第9题图）
9．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为 ．
10．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是 ．
11．设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 ．
12．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．设，则“”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（ ）．
A．B．C．D．
15．若实数满足，则必有（ ）．
A．B．C．D．
16．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为．当点在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ）．
A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的正整数，数列的前项和，向量的模为，求数列的前n项和．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，平面平面，四边形是正方形，∥，，，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正切值．
（第18题图）
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
某公园的一个角形区域如图所示，其中．现拟用长度为100米的隔离档板（折线）与部分围墙（折线）围成一个花卉育苗区，要求满足．
（1）设，试用表示；
（2）为使花卉育苗区的面积最大，应如何设计？请说明理由．
（第19题图）
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设a为实数，是以点为顶点、以点为焦点的抛物线，是以点A(0, a)为圆心、半径为1的圆位于y轴右侧且在直线下方的部分．
（1）求与的方程；
（2）若直线被所截得的线段的中点在上，求a的值；
（第20题图）
（3）是否存在a，满足：在的上方，且有两条不同的切线被所截得的线段长相等？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．
（1）判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；
（2）已知函数，．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；
（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数m的取值范围．
答案
一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ；
7. ； 8. ； 9.； 10. ； 11. 25； 12. 8.
二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）
13. A 14. B 15. D 16. C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）设等比数列的公比为，由，
可得，即. …………………………2分
又由成等差数列，可得
即解得或，又是严格增数列，所以，…………………4分
故. …………………………6分
（2）由，可得当时，，
又，所以对一切正整数，都有， …………………9分
所以， ……………………11分
所以的前和为. …………………14分
18.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．
解：（1）在平面内，，直线AB, DC相交，设它们交于点，, 即.
四边形是正方形，，又平面平面，
它们的交线为，平面，故平面，
又平面，. ……………4分
又与是平面内的两条相交直线，
平面. ……………6分
（2）在平面内，过作，垂足为.
又平面平面, 它们的交线为，故平面. ……………8分
在平面内，过作，垂足为，连，
则，故就是二面角的平面角， ……………11分
又，，
在直角中，，
所以二面角的正切值为． ……………14分
法二：设是线段的中点，由是以为底边的等腰直角三角形，
可知，由平面平面, 它们的交线为，
且平面，故平面, 设是线段的中点，
则平面，可得，又是正方形的
对边的中点，可得， …………9分
分别以为轴建立如图的空间直角坐
标系，则，，
设是平面的一个法向量，则有
解得
故，又是平面的一个法向量， ……………11分
所以二面角的余弦值为，
其正弦值为，故二面角的正切值为. ……………14分
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
解：（1）由，, 可知 ,
作, 垂足为，由，可知且，
在直角中，，故，
同理可得， ……………4分
所以，
可得(米). ……6分
（2）设花卉育苗区的面积为平方米，则
. ………9分
. ……………12分
当且仅当且，即时，取最大值，此时米.
故使，且米，可使花卉育苗区的面积最大. ………………14分
20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解:（1）设的方程为，又，得，即的方程为， ……2分
的方程为. ……………4分
（2）设直线与的交点为，线段中点为，
由可得，故， ……………7分
由点在上，可知且，解得. ……………10分
（3）设为上任一点，则. 点在的上方等价于,即对于恒成立，令, 由, 可得
, 故的最大值为, 可得. ………12分
设直线与相切, 被截得的线段长为，则, 且,
可得, 又由可得, 设它的两个实根为,
则， …………14分
设，则，，，
令，则，
当且仅当，即时，存在，使得在与上，
分别小于0和大于0, 故分别严格增与严格减，故在上必存在两个不同的值, 对应的相等，即存在两个不同的正数k，使得对应的L值相等.
所以存在a满足题中条件，且a的取值范围是. ……………18分
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解：（1）(*1)即为 ………………2分
也即由与都不满足方程，
故(*1)无解，所以与非“局部趋同”. ……………4分
（2）即为 等价于（*2） ………7分
令，对于任意正数，由，，
又在上的图像是连续不间断的，故 在上至少有一个零点， ……9分
设是其中一个零点，则存在正数，使得（*2）在上有解，
故对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”. …………10分
（3）(*)即为 等价于（*3） ………13分
令，则，的图像在点处的切线的方程为，
即，令，可得，此时上述切线方程为，………15分
故当且仅当时，直线与的图像相切，由
图像可知，当且仅当时，直线与的图像
有公共点（在轴右侧），故当且仅当时，
有正数解，此时存在，使得（*3）有正数解，
从而与“局部趋同”.
所以满足条件的实数的取值范围是. ……………18分