上海市普陀区2023届高三（二模）数学试题

上海市普陀区2023届高三（二模）数学试题

一、单选题

1．（2023·上海普陀·统考二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023·上海普陀·统考二模）设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：

（1）若且，则        

（2）若且，则

（3）若且，则        

（4）若且，则

其中不正确的个数是（    ）

A．1 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2023·上海普陀·统考二模）设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：

①任意，中总有2个元素；②存在，使得．

其中正确的是（    ）

A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立

C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立

4．（2023·上海普陀·统考二模）设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（    ）

A． B． C．2 D．

二、填空题

5．（2023·上海普陀·统考二模）设全集，若集合，则______．

6．（2023·上海普陀·统考二模）函数的最小正周期为_______．

7．（2023·上海普陀·统考二模）现有一组数1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，则该组数的第25百分位数为______．

8．（2023·上海普陀·统考二模）设（i为虚数单位）是关于x的方程的根，则______．

9．（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______．

10．（2023·上海普陀·统考二模）若且，则______．

11．（2023·上海普陀·统考二模）现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为______（损耗忽略不计）．

12．（2023·上海普陀·统考二模）设的三边a，b，c满足，且，则此三角形最长的边长为______．

13．（2023·上海普陀·统考二模）“民生”供电公司为了分析“康居”小区的用电量y（单位）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系见下表：

若上表中的数据可用回归方程来预测，则当气温为时该小区相应的用电量约为______．

14．（2023·上海普陀·统考二模）设为双曲线:左、右焦点，且的离心率为，若点M在的右支上，直线与的左支相交于点N，且，则______．

15．（2023·上海普陀·统考二模）设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为______．

16．（2023·上海普陀·统考二模）设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．

三、解答题

17．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在直三棱柱中，，，．

(1)求证：；

(2)设与底面ABC所成角的大小为，求三梭雉的体积．

18．（2023·上海普陀·统考二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．

(1)设且，求x的取值范围；

(2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．

19．（2023·上海普陀·统考二模）现有3个盒子，其中第一个盒子中装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．

(1)求取到的白球数不少于2个的概率；

(2)设X为所取到的白球数，求取到的白球数的期望．

20．（2023·上海普陀·统考二模）在xOy平面上．设椭圆：，梯形的四个项点均在上，且．设直线的方程为

(1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；

(2)设，直线经过点，求的取值范围；

(3)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．（2023·上海普陀·统考二模）已知，设函数的表达式为（其中）

(1)设，，当时，求x的取值范围；

(2)设，，集合，记，若在D上为严格增函数且对D上的任意两个变量s，t，均有成立，求c的取值范围；

(3)当，，时，记，其中n为正整数．求证：．

参考答案：

1．A

【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可.

【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足；

由，则，推不出，反向可推出，不满足；

由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；

由，则，推不出，反向可推出，不满足；

故选：A

2．D

【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解.

【详解】若且，则或，故命题错误；

若且，则或为异面直线，故命题错误；

若且，则或，故命题错误；

若且，则或相交或异面，故命题错误.

故选：D

3．B

【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论.

【详解】曲线C:的焦点，

则，

由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

的圆心，

当点在原点处时，，此时，

此时点的轨迹方程为，

因为，所以点在圆外，

则存在，使得两圆相离，即，

故①错误，②正确.

故选：B.

4．D

【分析】由题设得且，结合已知可得且，分类讨论求范围，即可得答案.

【详解】由题意知：且，则，，

又且，则，即，，

所以且，

(或n为其它大于1的整数)不满足；时；时，

所以满足要求，其它不符合.

故选：D

5．

【分析】解绝对值不等式求集合A，应用集合补运算求.

【详解】由题设或，又，

所以.

故答案为：

6．π

【详解】试题分析： 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为

考点：三角函数的周期

7．

【分析】根据已知数据集，应用百分数的求法求第25百分位数.

【详解】由题设，数据集（从小到大排列）中共有10个数据，则，

所以该组数的第25百分位数为第三个数.

故答案为：

8．

【分析】将根代入方程即可求参数值.

【详解】由题设，即，

所以.

故答案为：

9．

【分析】求函数的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0即可.

【详解】，

，或

所以定义域为：.

故答案为：

10．

【分析】先根据平方关系及商数关系求出，再利用两角差的正切公式即可得解.

【详解】因为且，所以，

所以，

则.

故答案为：.

11．

【分析】根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.

【详解】设球的半径为，

则，解得，

所以该工件的表面积为.

故答案为：.

12．

【分析】由，得边最长，不妨设，利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】由，得边最长，

不妨设，

则，

又，所以，

则，解得，

所以三角形最长的边长为.

故答案为：.

13．

【分析】求出样本中心点，再根据线性回归方程必过样本中心点求出，再将代入即可得解.

【详解】，

则，解得，

所以，

当时，，

即当气温为时该小区相应的用电量约为．

故答案为：.

14．

【分析】根据双曲线的离心率公式求出，再根据双曲线的定义即可得解.

【详解】由的离心率为，

得，解得，

由点M在的右支上，得，

又因，

所以，即.

故答案为：.

15．##

【分析】根据两函数的图象关于直线l对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，可求得，从而可得出答案.

【详解】，

因为函数与的底数互为倒数，

而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，

函数与的图像于直线l对称，

所以函数与的图像于轴对称，

即直线l为轴，

所以，所以，

则两个函数分别为，，

令，得，解得，此时，

所以l与这两个函数图像的公共点的坐标为.

16．

【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.

【详解】由，又向量与互相平行，

所以，故，

令，，则，

所以，将按向量平移至，

所以是直线上的动点，如下图示，

所以，故，

由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，

故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由证出，再由线面垂直的性质得出，根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）为与底面ABC所成角，再由等体积法求体积即可.

【详解】（1），，，

，

，

又直三棱柱中，平面，

平面，，

又，平面，

平面，

平面，.

（2）平面，

在平面上的射影为，即为与底面ABC所成角，

，，

.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由题设，利用指数单调性求解集即可；

（2）由已知有，，根据条件分析中的元素组成，利用等差数列前n项和公式、分组求和.

【详解】（1）由题设，又且都不为1的正实数，

所以，而，故.

（2）由，，

而数列前100项中有，其中属于数列有，

所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，

则.

19．(1)

(2)

【分析】（1）用乘法公式和全概率公式，分别算出取到2个白球和3个白球的概率即可；

（2）分别计算出取到的白球数的概率，计算期望即可.

【详解】（1）设取到的白球数为X，则X的可能值为：0，1，2，3.

取到2个白球的概率，则

取到3个白球的概率，，

则取到的白球数不少于2个的概率：.

（2）,

,

,

，

所以取到的白球数的期望：

20．(1)；

(2)；

(3)的面积是定值，定值为

【分析】（1）由题意可得点的纵坐标，代入椭圆方程计算，再由椭圆的关系列式求解；（2）设直线的方程为，联立方程组，根据得的范围，写出韦达定理，根据向量数量积公式列式代入计算化简，并结合的范围，从而求解出的范围；（3）分别将直线，的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式分别计算表示出，再由列式化简得关于的关系式，利用平行线间的距离表示出，从而可得的面积为，代入的关系式化简计算即可求出定值.

【详解】（1）因为梯形为的长轴，的高为，

所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，

可得，又因为在上的射影为的焦点，

，解得，

，.

（2）由题意，椭圆：，直线的方程为，

设，则，

化简得，

，得，

，

，

，所以

所以的取值范围为

（3）设直线的方程为，，

，联立，

化简得，

，

，

，

联立，化简得

，

，

，所以，

化简得，即.

又的高为，

所以

将代入化简得，.

故的面积为定值.

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

21．(1)；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由题设可得，解不等式求x的取值范围；

（2）问题化为在上成立，根据单调性、导数研究单调性求最值，即可求参数范围；

（3）问题化为证，令则，结合二项式定理有，且及基本不等式证，即可证结论.

【详解】（1）由题设，则，即，故，

又，则，所以.

（2）由题设，要使D上的任意两个变量s，t均有成立，

所以在上成立，

又在D上为严格增函数，即，

同时在上恒成立，

由解析式知：在上递减，只需，故，

由且，，即在上递减，

所以，故，可得.

综上，；

（3）由题设，则且，，故，

所以，

而，

，

所以，

又，且，当且仅当时等号成立，

所以，同理，.......，且均在时等号成立，

所以，

综上，，即成立.

【点睛】关键点点睛：第三问，首先转化问题为证，再应用二项式定理展开左侧，结合组合数性质、基本不等式证明结论.