上海市嘉定区2023届高三（二模）数学试题

上海市嘉定区2023届高三（二模）数学试题

一、单选题

1．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．函数是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数

3．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（    ）

A．存银行 B．房产投资

C．商业投资 D．房产投资和商业投资均可

二、填空题

5．已知复数（为虚数单位），则=______．

6．双曲线的离心率为__________．

7．已知，，则__________．

8．函数的最小正周期为_____________

9．是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则__________．

10．已知函数，定义域为，则该函数的最小值为__________．

11．已知，若，则__________．

12．已知数列的通项公式为，前项和为，则__________．

13．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为__________．

14．已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部件的良品率为，若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为__________．

15．如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则的面积的最大值为__________．

16．若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为__________．

三、解答题

17．如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点．

(1)判断直线与的关系，并说明理由；

(2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积．

18．已知向量，，．

(1)求函数的最大值及相应的值；

(2)在中，角A为锐角，且，，，求边的长．

19．李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：

(1)求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：

(2)根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．

附：，，

20．若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线：和：，其中．与在第一象限内的交点为P． 与在点P处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角．

(1)求点P的坐标；

(2)若、的夹角为，求的值；

(3)若直线既是也是的切线，切点分别为Q、R，当为直角三角形时，求出相应的的值．

21．已知，等差数列的前项和为，记．

(1)求证：函数的图像关于点中心对称；

(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；

(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】首先化简结论，然后根据条件与结论的关系确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：，

∵  由可推出，由不能推出，

∴  是的必要不充分条件.

故选：B.

2．B

【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.

【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数.

故选：B

3．C

【分析】根据正方体内切球，外接球的性质求出对应半径即可.

【详解】与该正方体每个面都相切的球直径为棱长：，

与该正方体每条棱都相切的球直径为一个的面对角线：，

过该正方体所有顶点的球的直径为体对角线：，

，A错误；，故C正确，B、D错误.

故选：C.

4．D

【分析】计算出房产投资和商业投资的收益平均值，根据平均值判断即可.

【详解】房产投资的收益平均值为：，

商业投资的收益平均值为：，

因为，所以房产投资和商业投资均可.

故选：D

5．5

【分析】直接利用复数的模的公式求解.

【详解】因为复数，所以.

故答案为5

【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.

6．

【分析】由双曲线的性质求解.

【详解】双曲线的离心率为.

故答案为：

7．

【分析】解不等式，再求交集.

【详解】等价于，解得，即.

则.

故答案为：

8．

【详解】函数的最小正周期为

故答案为

9．##

【分析】根据正三角形的性质可得，，然后代入向量的数量积公式即可求解.

【详解】由题意可知：，，由平面向量的数量积公式可得，

，

故答案为：.

10．1

【分析】根据函数求导确定函数单调性，即可得函数最小值.

【详解】因为，，所以，令，得

所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增

所以.

故答案为：.

11．3

【分析】由组合数和排列数的计算公式求解.

【详解】，则.

故答案为：

12．##

【分析】先求得，然后求得正确答案.

【详解】

，

所以.

故答案为：

13．

【分析】画图求出圆柱体的底面圆的半径及高，利用圆柱体体积公式计算即可.

【详解】如图所示：连接交于点，连接，

因为四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，

所以面，

因为点在圆柱的一个底面圆周上，

所以圆柱底面圆的半径为：，

又点P在圆柱的另一个底面内，

所以圆柱体的高为，

所以圆柱体的体积为：，

故答案为：.

14．

【分析】根据全概率公式计算可得.

【详解】记随机取一件产品由供应商提供为事件，由供应商提供为事件，为良品为事件，

则，，，，

由，即，解得，

即供应商提供的部件的良品率为.

故答案为：

15．

【分析】由已知可推得，根据余弦定理表示出，进而得出.表示出，根据基本不等式，即可求出，从而得出答案.

【详解】由题意可知，，即.

在中，有，，

所以.

由余弦定理可得，，

所以，

所以有，

当且仅当时，等号成立.

所以，，

所以，，即的面积的最大值为.

故答案为：.

16．

【分析】求出函数的导函数，令，利用导数说明函数的单调性，求出，，再分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，即可判断.

【详解】因为，所以，

令，则，

所以当或时，当时，

所以在，上单调递减，在上单调递增，又，，

当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，

则当时，即，当时，即，

即在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，

则当时，即，当时，即，

即在上单调递增，在上单调递减，

此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当时当时即，当时即，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当时当时即，当时即，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；

当，即时的图象如下所示：

即与轴有个交点，不妨依次设为、、，

则当或时，即，当或时，即，

所以在处取得极小值，符合题意，

综上可得实数的取值范围为.

故答案为：

17．(1)相交；理由见解析

(2)

【分析】（1）连结.先根据三角形的中位线得出，且.然后证明四边形是平行四边形，即可推出四边形是梯形，进而得出结论；

（2）由题意知，推得.在中，解得，即可求出四棱柱的面积.

【详解】（1）如图1，连结.

因为分别是的中点，所以，且.

由正四棱柱的性质可知，，且，

所以，四边形是平行四边形，

所以，，且，

所以，且.

所以，四边形是梯形，

所以，直线与相交.

（2）

如图2，连结，则即为直线与底面ABCD所成角，即，

则在中，有.

设，由题意知，则，

在中，有，

所以.

所以，四棱柱的全面积为.

18．(1)最大值，此时，；

(2)

【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数的解析式，再由正弦函数的性质求解；

（2）由（1）求出角的值，再利用正弦定理求出边的长作答.

【详解】（1）依题意，

当，即时，取最大值.

（2）由（1）及得：，即，

因，则，因此，，则，

而，有，

在中，由正弦定理得，，

所以边的长为.

19．(1)，填表见解析

(2)无显著差异；理由见解析

【分析】(1)根据茎叶图求出中位数，列表即可；(2)将表格中数据代入公式即可.

【详解】（1）由茎叶图可知，该组数据的中位数为，故列出2×2列联表如下：

（2）由2×2列联表可知，，

故上下班的通勤时间不存在显著差异.

20．(1)；

(2)1；

(3)或

【分析】（1）联立方程组即可求得点P的坐标；

（2）根据导函数的定义求得斜率，由夹角公式得，代入即可求得的值；

（3）设直线方程，由于直线与曲线相切，联立方程组，判别式等于0，，由于三角形为直角三角形，分三种情况讨论，根据向量乘积为0即可求得.

【详解】（1）设点，联立方程，解得，即.

（2）设和的斜率分别为和，因为在第一象限内，

对于考虑函数，求导，代入点横坐标，得，

对于，考虑函数，求导，代入点横坐标，得，

因为、的夹角为，所以和的夹角为，

由夹角公式得：，化简为，即，得.

.

（3）因为显然不与坐标轴平行，所以其方程设为，

因为和只有一个公共点，所以方程组有两个相同的解，

所以的判别式，即，.

同理方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，.

联立方程，解得，又点纵坐标为、点横坐标为，所以

、.

设，则，，，

若为直角，则，，，;

若为直角，则，，，;

若为直角，则，，无解，

综上，或为所求.

.

【点睛】关键点睛：本题第2小问的解题关键是利用导数求得抛物线的切线方程，从而得解.

21．(1)证明见解析

(2)；

(3)证明见解析，理由见解析

【分析】（1）函数中心对称性质：，则的图象关于点中心对称，根据此定义证明即可；

（2）利用三角形内角和为和等差中项性质求解出和 ，再根据定义展开，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出的取值范围；

（3）根据等差数列性质可得，将该关系式代入计算即可.

【详解】（1），

，

，

故函数的图象关于点中心对称；

（2）因为为等差数列，所以，

又因 、、是某三角形的三个内角，所以，得，，

化简得：，

因为、、是某三角形的三个内角，且，所以，

即，，可得；

（3）证明：若，根据等差数列性质可得，

由此可得，，，

即，

，

解得，证毕.

反之，若，即

因为为等差数列，所以，

即，

当且仅当时，，

若，则，

故反之不成立，证毕.

【点睛】方法点睛：

常见函数的累加求值：

①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算；

②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整体计算.