2021届上海市黄浦区高三下学期4月高中学业等级考调研测试（二模）数学试题

黄浦区2021年高考模拟考

数学试卷       

(完卷时间：120分钟   满分：150分)     2021.4

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；

3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．已知集合，，则            ．

2．方程的解           ．

3．已知某球体的表面积为，则该球体的体积是             ．

4．已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则           ．

5.已知复数的共轭复数为，若(其中为虚数单位)，则          .

6．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是                .（结果用反三角函数值表示）

7．已知随机事件和相互独立，若，(表示事件的对立事件) ，则=          .

8.无穷等比数列的前项和为，且，则首项的取值范围是            .

9．已知的二项展开式中第三项的系数是，则行列式中元素的代数余子式的值是            .

10．已知实数满足线性约束条件 则目标函数的最大值是           .

11．某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是                .(结果用数值作答)

12．已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是               .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13. 已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的  (     ).

     ()充分非必要条件          ()必要非充分条件　

     ()充要条件                ()非充分非必要条件

14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：

        甲：21、22、23、25、28、29、30、30；

        乙：14、16、23、26、28、30、33、38.

则下列描述合理的是                                                     (     ).

     ()甲队员每场比赛得分的平均值大      ()乙队员每场比赛得分的平均值大

     ()甲队员比赛成绩比较稳定            ()乙队员比赛成绩比较稳定

15．已知点是直线和圆的公共点，过点作圆的切线，则切线 的方程是(   ).

      ()            ()

      ()              ()

16．已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且.  若不等式恒成立，则实数的取值范围是                                          （    ）.

(A)      (B)    (C)     (D) 

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

   已知长方体中，棱，，点是棱的中点.

(1)联结，求三棱锥的体积；

(2)求直线和平面所成角的大小.

(结果用反三角函数值表示)

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

    已知中，内角、、所对边长分别为、、，且，．

(1)求正实数的值；

(2)若函数()，求函数的最小正周期、单调递增区间．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.

（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)

（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.

20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

    椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上的任一点.

(1)试写出向量的坐标(用含的字母表示)；

(2)若的最大值为，最小值为，求实数的值；

(3)在满足(2)的条件下，若直线与椭圆交于两点(与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段为直径的圆经过点，求证：直线必经过定点，并求出定点的坐标.

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

    定义：符号表示实数中最大的一个数；表示中最小的一个数. 如，，.

设是一个给定的正整数()，数列共有项，记，

， ().由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则.理由：，则.又，于是，有.试解答下列问题：

    (1)若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

   (2)若数列满足，求通项公式；

   (3)试构造项数为的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由.(答案不唯一)

黄浦区2021年高考模拟考

数学试卷参考答案

     2021.4

说明：

    1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

一、填空题.

1．   2．   3．    4．    5．   6．   7． 

8．    9．       10．   11．     12．．

二、选择题．

　　　　　　13．         14．         15．         16．

三、解答题．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解(1) 是长方体,棱，，

     平面，即三棱锥的高等于.

     .                 

     .                

(2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得，

, ，.                                   

  ，，                     

设平面的法向量 ，                                   

则 即                                         

取，得 故平面的一个法向量为.             

设直线和平面所成的角为 ，则

.                                         

所以直线和平面所成角的大小为 ．                      

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解 (1)在中，，，

　 根据正弦定理：，  得                          

               ．( )                                

    ∴ .                                                             

 (2)  由(1)知，，

   ∴

   ∴函数的最小正周期为.                                   

     由()，得                        

        .                                  

     ∴函数的递增区间是.               

19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解 (1)  答案不唯一.  构造出一个函数；                                      

   说明是单调增函数；                                     

    函数的取值满足要求.                                   

如，，就是符合企业奖励的一个函数模型.

理由：

根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数；

当时，，

当时，，即奖金金额且不超过20万元.

故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.

(2) 当时，易知是增函数，且当时，，当时，，即满足奖金且不超过20万的要求；

   故当时，符合企业奖励要求.                         

  当时，函数是增函数，即对任意，且时，成立.故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数.                                                     

  由，得；进一步可知，，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求.                  

  依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，   

  于是，有，解得.                                

  综上，所求实数的取值范围是.                                   

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

解 (1)根据题意,可知.                                        

  于是，.                              

   (2) 由(1)可知，.                                    

在椭圆上，

，则.                                        

.                                      

依据椭圆的性质，可知.

    当且仅当时，，     

      当且仅当时，.        

    又 的最大值为，最小值为，

   解得即为所求.                                      

  证明 (3)由(2)知，椭圆. 又，

   联立方程组                                                

   得.                          

  设是直线与椭圆的两个交点，于是，有

   以线段为直径的圆经过点，

   ，即，进一步得                 

     ()，化简得

     .                                                   

    解得.(经检验，都满足)

  当时，直线过点不满足与椭圆的左右顶点不重合要求，故舍去.                                                                    

   ，即.

   直线必经过定点，且定点的坐标为.                               

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解 (1)数列的通项公式为，考察指数函数的图像与性质，知数列是单调递减数列,即.           

     ，                                   

     .                

　　为所求的通项公式．     

(2) 数列满足，

依据题意，由，知；由，知；依此类推，有，即，于是，数列是单调递减数列.         

  ，                                       

     .                  

，

．                                           

　　∴数列是首项，公差为的等差数列．                          

　  ．                               

 (3) 构造数列：，数列：，，设，则数列满足题设要求.                                       

理由如下：

     构造数列：，数列：， ，

     易知，数列是等比数列，数列是等差数列.                     

由指数函数的性质，知 ，即数列是单调递减数列；

由函数的性质，知数列是单调递减数列.               

   ，即.      

   ∴数列是单调递减数列.                                              

.                                     

∴，即数列是单调递减数列.                                                                  

数列是满足条件的数列.