初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角第2课时教案设计

第十一章  三角形

11.2 与三角形有关的角

11.2.1  三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定

一、教学目标

【知识与技能】

掌握直角三角形的两个锐角互余。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
    【过程与方法】

会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。

【情感态度与价值观】

让学生体会从一般到特殊的思想。

二、课型

新授课

三、课时

第2课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

探索并掌握直角三角形的两个锐角互余。

【教学难点】

经历直角三角形性质的探索过程，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。能利用直角三角形的性质和判定解决一些简单问题，会用直角三角形的性质进行有关推理和计算。

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、量角器等。

学生：三角尺、直尺、量角器。

六、教学过程

（一）导入新课

本节课开始之前，先给大家讲一个故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？

老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.（出示课件2）

（二）探索新知

1.探索直角三角形的性质

教师问1：三角形的内角和是多少度？

学生回答：三角形内角和为180°.

教师问2：我们学习过的三角形按角分类，分为哪些呢？

学生回答：所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么吗？出示直角三角形的图形：

学生回答：直角三角形.

教师讲解：那么老师说它不一般，而且很特殊，那它到底有些什么样的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来

教师问3：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?
（出示课件4）

学生回答：30°+60°=90°，45°+45°=90°.

教师让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任何大小的直角三角形，等同学们画完以后，让同位互换所画的三角形.

教师问4：请同学们量出自己手中的直角三角形的两个锐角，计算一下它们的和是多少度？

学生回答：两个锐角的和是90°.

教师问5：如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？如何证明呢？（出示课件5）

学生回答：在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得      

∠A +∠B+∠C=180°， 即  ∠A +∠B=90°.
教师问6：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？

学生回答：直角三角形的两个锐角互余.

教师总结：（出示课件6）

直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余．

应用格式：
     在Rt△ABC 中，
     ∵　∠C =90°，
     ∴　∠A +∠B =90°．

直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
    探究1：利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数

例1：（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？（出示课件7）

师生共同解答如下:

方法一（利用平行的判定和性质）：
        ∵∠B=∠C=90°，
        ∴AB∥CD，
        ∴∠A=∠D.
    方法二（利用直角三角形的性质）：
        ∵∠B=∠C=90°，
        ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
        ∵∠AOB=∠COD，
        ∴∠A=∠D.
    （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.（出示课件8）

师生共同解答如下：

解：∠A=∠C.
理由如下：
       ∵∠B=∠D=90°，
       ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
       ∵∠AOB=∠COD，
       ∴∠A=∠C.

出示课件9，学生自主练习解答。

例2：如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？（出示课件10）

师生共同解答如下：

解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.

总结点拨：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？（出示课件12）
    基本图形：

∠A=∠D            ∠A=∠C

2.活动探究直角三角形的判定方法

教师问7：我们知道，直角三角形的两锐角互余；反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？

学生讨论后回答：有两个角互余的三角形是直角三角形.

教师问8：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？（出示课件13）

学生小组讨论给出证明如下：

在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°，

又 ∠A +∠B=90°，
   所以∠C=90°.
    即△ABC是直角三角形.
    教师总结：（出示课件14）

直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．

探究2：利用直角三角形的判定定理识别直角三角形

例：如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？（出示课件15）

师生共同解答如下：

解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.

例：如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？（出示课件17）

师生共同解答如下：

解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.

（三）课堂练习（出示课件20-23）

1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.

2. 如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，   若∠BOD=38°，则∠A=________.

3. 在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.
    4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　）
   A．40°           B．50°        C．60°         D．70°
    5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　）
    A．∠A+∠B=∠C
    B．∠A–∠B=∠C
    C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
    D．∠A=∠B=3∠C
    6. 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　）
    A．∠B                    B．∠A
    C．∠BCD和∠A           D．∠BCD

7. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形．

参考答案：

1. 90°
2. 52°

3. 直角三角形

4.B

5.D

6.C

7. 证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1．直角三角形的内角有什么关系？

答：直角三角形的两锐角互余．

2．目前已学的直角三角形的判定方法：

答：(1)有一个角是直角；(2)两边互相垂直；(3)有两个角互余．

（五）课前预习

预习下节课（11.2.2）的相关内容。

知道三角形外角的定义和三角形外角的性质及外角和的度数

七、课后作业

1、教材14页练习和教材16页第4题

2、如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．

八、板书设计：

11.2.1三角形的内角（第2课时）

直角三角形的两个锐角互余．

应用格式：

在Rt△ABC 中，

∵　∠C =90°，

∴　∠A +∠B =90°．

直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC

例1：

例2：

有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
应用格式：

在△ABC 中，

∵　∠A +∠B =90°，

∴　△ABC 是直角三角形．

例3：

例4：

九、教学反思：

老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。