2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习2.2《一元二次不等式及其解法》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习

2.2《一元二次不等式及其解法》

一              、选择题

1.关于x的不等式﹣x2＋4x＋5＞0的解集为(　　)

A.(﹣5,1)                          B.(﹣1,5)

C.(﹣∞，﹣5)∪(1，＋∞)           D.(﹣∞，﹣1)∪(5，＋∞)

2.设集合A={x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y=的定义域，则A∩B等于(　 　)

A.(1,2)         B.[1,2]     C.[1,2)         D.(1,2]

3.不等式≥1的解集为(　 　)

A.[-2,- ]                   B.(-2,- ]

C.(－∞，－2)∪(- ,+∞)     D.(－∞，－2]∪(- ,+∞)

4.使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是(　 　)

A.x≥0         B.x<0或x>2    C.x∈{－1,3,5}     D.x≤－或x≥3

5.关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　  )

A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)         B.(1,3)

C.(－1,3)                        D.(－∞，1)∪(3，＋∞)

6.若一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(- ,)，则a＋b的值是(　　)

A.10       B.－10         C.14        D.－14

7.已知函数f(x)=若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　 　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)      B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C.(－1,2)              D.(－2,1)

8.在R上定义运算：=ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　 　)

A.－        B.－      C.         D.

9.已知关于x的不等式kx2﹣6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)

A.[0,1]                             B.(0,1]

C.(﹣∞，0)∪(1，＋∞)              D.(﹣∞，0]∪[1，＋∞)

10.设函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1，若对于任意的x∈[1,3]，f(x)＜﹣m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A.m≤0          B.0≤m＜      C.m＜0或0＜m＜       D.m＜

二              、多选题

11. (多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x﹣a)(x＋1)＞0的解集可能为(　　)

A.R       B.(﹣1,a)         C.(a,﹣1)      D.(﹣∞,﹣1)∪(a,+∞)

12. (多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2﹣6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)

A.4          B.5           C.6            D.7

三              、填空题

13.若0<a<1，则不等式(a－x)(x-)>0的解集是          .

14.不等式x2－3|x|＋2＞0的解集是________.

15.若函数f(x)=x2＋ax＋b的两个零点是－1和2，则不等式af(－2x)＞0解集是_______.

16.若对任意的m∈[﹣1,1]，函数f(x)＝x2＋(m﹣4)x＋4﹣2m的值恒大于零，则x的取值范围为______________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：B.

解析：不等式可化为x2﹣4x﹣5＜0，有(x﹣5)(x＋1)＜0，故不等式的解集为(﹣1,5).

2.答案为：D.

解析：A={x|x2＋x－6≤0}={x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B={x|x>1}，

所以A∩B={x|1<x≤2}.

3.答案为：B.

解析：≥1⇔－1≥0⇔≥0⇔≥0⇔≤0⇔⇔－2<x≤－.故选B.

4.答案为：C.

解析：不等式2x2－5x－3≥0的解集是{x|x≥3或x≤－}，

由题意，选项中x的范围应该是上述解集的真子集，只有C满足.故选C.

5.答案为：C.

解析：关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a=b<0，

∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，

∴所求不等式的解集是(－1，3).

6.答案为：D

解析：因为一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(- ,)，

所以－，是一元二次方程ax2＋bx＋2=0的两个根，

则解得a=－12，b=－2，则a＋b=－14.

7.答案为：D；

解析：易知f(x)在R上是增函数，

∵f(2－x2)＞f(x)，∴2－x2＞x，解得－2＜x＜1，

则实数x的取值范围是(－2,1)，故选D.

8.答案为：D；

解析：由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，

∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立.∵x2－x＋1=2＋≥，

∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.

9.答案为：A

解析：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立，当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2﹣6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0＜k≤1.综上所述，k的取值范围是[0,1].

10.答案为：D

解析：若对于任意的x∈[1,3]，f(x)＜﹣m＋4恒成立，即mx2﹣mx＋m﹣5 ＜ 0在[1,3]上恒成立，当m＝0时，﹣5 ＜0恒成立；当m≠0时，令g(x)＝mx2﹣mx＋m﹣5，其图象的对称轴为x＝，当m ＜ 0时，g(x)的图象开口向下且g(x)在[1,3]上单调递减，∴在[1,3]上，g(x)max＝g(1)＝m﹣5＜0，得m ＜ 5，故有m＜0；

当m＞0时，g(x) 的图象开口向上且g(x)在[1,3]上单调递增，

∴在[1,3]上，g(x)max＝g(3)＝7m﹣5＜0，得0＜m＜，

综上，实数m的取值范围为m＜.

二              、多选题

11.答案为：BCD

解析：对于一元二次不等式a(x﹣a)(x＋1)＞0，

则a≠0，

当a＞0时，函数y＝a(x﹣a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，﹣1，

故不等式的解集为(﹣∞，﹣1)∪(a，＋∞)；

当a＜0时，函数y＝a(x﹣a)(x＋1)开口向下，

若a＝﹣1，不等式的解集为∅；

若﹣1＜a＜0，不等式的解集为(﹣1，a)；

若a＜﹣1，不等式的解集为(a，﹣1).

12.答案为：CD

解析：设f(x)＝x2﹣6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示.

若关于x的一元二次不等式x2﹣6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，则解得5＜a≤8，又a∈Z，故a可以为6,7,8.

三              、填空题

13.答案为：{x|a<x<}

解析：原不等式为(x－a)(x-)<0，由0<a<1得a<，∴a<x<.

14.答案为：(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)

解析：由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2＞0，解得|x|＜1或|x|＞2，

所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞).

15.答案为：(-1,).

解析：∵f(x)=x2＋ax＋b的两个零点是－1，2，∴－1，2是方程x2＋ax＋b=0的两根，

由根与系数的关系知即

∴f(x)=x2－x－2.不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－2)＞0，

则2x2＋x－1＜0，解集为(-1,).

16.答案为：(﹣∞，1)∪(3，＋∞)

解析：f(x)＝x2＋(m﹣4)x＋4﹣2m＝(x﹣2)m＋x2﹣4x＋4.令g(m)＝(x﹣2)m＋x2﹣4x＋4，

由题意知在[﹣1,1]上，g(m)的值恒大于零，

∴解得x＜1或x＞3.

故当x＜1或x＞3时，对任意的m∈[﹣1,1]，函数f(x)的值恒大于零.