新高考数学一轮复习考点练习考点05 复数（含详解）

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（2021·全国高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
故选：C.
1．求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
2．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．
3．复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(→))＝(a，b)．
4．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
5．复数的加减法：在进行复数加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
6．复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
7．复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→)).
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
【知识拓展】
常用结论：
(1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
1．（2021·山东济南市·高三其他模拟）复数z1，z2满足z1∈R， SKIPIF 1 < 0 ，则z1＝（ ）
A．1B．2C．0或2D．1或2
2．（2020·河北高三其他模拟（文））已知 SKIPIF 1 < 0 是复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））满足条件 SKIPIF 1 < 0 的复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ）
A．一B．二C．三D．四
4．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（文））复数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，且 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的模 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．5B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
故选：C
1．（2021·全国高三其他模拟）复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，i为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．1或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0或 SKIPIF 1 < 0
2．（2021·全国高三其他模拟）已知复数z满足（2﹣i）z＝|4﹣3i|，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．﹣2﹣iB．2﹣iC．﹣2+iD．2+i
3．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2021·全国高三其他模拟）设 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知i是虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．1B．5C．D．13
6．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2021·重庆市育才中学高三二模）已知复数 SKIPIF 1 < 0 对应复平面内的动点 SKIPIF 1 < 0 ，模为 SKIPIF 1 < 0 的纯虚数 SKIPIF 1 < 0 对应复平面内的点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
8．（2021·北京高三其他模拟）复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的虚部是______.
9．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））已知 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，若 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
10．（2021·浙江高三其他模拟）设复数 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ________； SKIPIF 1 < 0 ________.
1．（2021·浙江高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，(i为虚数单位)，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．3
2．（2021·全国高考真题（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2021·全国高考真题（理））设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2021·全国高考真题（文））设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是
A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i
6．（2012·广东高考真题（理））设i是虚数单位，则复数=（ ）
A．6+5iB．6﹣5iC．﹣6+5iD．﹣6﹣5i
7．（2020·北京高考真题）在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2020·浙江高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1B．–1C．2D．–2
9．（2014·江苏高考真题）已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 的实部是___________.
10．（2020·天津高考真题） SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 _________．
1．【答案】C
【分析】
由题意可设z1＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.
【详解】
解：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，
由z2＝1+i，得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i，
又因为|z1﹣z2|＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，
解得a＝0或a＝2，
所以z1＝0或2．
故选：C．
2．【答案】D
【分析】
先利用复数的除法运算进行化简，由共轭复数的定义求解即可.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．【答案】D
【分析】
根据复数模的运算法则求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求其共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，在根据复数的几何意义知其对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，显然在第四象限.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的复数 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应的点 SKIPIF 1 < 0 所在象限是第四象限.
故选：D
4．【答案】C
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，根据条件求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得模长.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 在第三象限，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
故选：C
1．【答案】D
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，列出方程组，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．【答案】B
【分析】
首先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后将式子变形为 SKIPIF 1 < 0 ，根据复数的除法运算计算出结果，再根据共轭复数的概念即可求出结果.
【详解】
，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：B.
3．【答案】A
【分析】
由坐标形式写出复数，从而求得共轭复数.
【详解】
由题知， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
故选：A
4．【答案】C
【分析】
化简复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据实部和虚部的正负判断复数在复平面内对应的象限即可
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，故复数在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，在第三象限，
故选：C
5．【答案】B
【分析】
根据复数相等求得 SKIPIF 1 < 0 的值，接着求解 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据复数相等得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
6．【答案】B
【分析】
利用复数的乘方法则化简复数 SKIPIF 1 < 0 ，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
7．【答案】B
【分析】
根据题意，得到 SKIPIF 1 < 0 对应的点在 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合圆的切割线定理列出方程，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到答案.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 对应的点在 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，故 SKIPIF 1 < 0 （否则 SKIPIF 1 < 0 为圆心，不成立），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆的切割线定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
8．【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，因此，复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数设 SKIPIF 1 < 0 ，由此计算出 SKIPIF 1 < 0 并将其对应的点的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ，由此求解出 SKIPIF 1 < 0 的值，则 SKIPIF 1 < 0 可知.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．（2021·浙江高三其他模拟）设复数 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ________； SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】2 SKIPIF 1 < 0
【分析】
第一空利用复数的除法以及加法运算即可求出结果；第二空根据复数的模长公式即可求出结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2； SKIPIF 1 < 0 .
1．【答案】C
【分析】
首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
利用复数相等的充分必要条件可得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．【答案】B
【分析】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．【答案】C
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4．【答案】C
【分析】
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．【答案】A
【解析】
∵z=i(i+1)=i2+i=−1+i，
∴复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是−1−i.
本题选择A选项.
6．【答案】D
【详解】
=
=
=﹣6﹣5i．
故选D．
7．【答案】B
【分析】
先根据复数几何意义得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
8．【答案】C
【分析】
根据复数为实数列式求解即可.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【点睛】
本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【答案】21
【解析】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，其实部为21．
【考点】复数的概念．
10．【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属于基础题.