2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习3.2《函数的单调性与最值》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习

3.2《函数的单调性与最值》

一              、选择题

1.函数f(x)＝(6﹣x﹣x2)的单调递增区间是(　　)

A.[﹣,+∞)         B.[﹣,2)       C.(﹣∞,﹣]         D.(﹣3,﹣]

2.已知函数f(x)＝﹣x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)

A.单调递增区间是(0，＋∞) 

B.单调递减区间是(﹣∞，﹣1)

C.单调递增区间是(﹣∞，﹣1) 

D.单调递增区间是(﹣1,1)

3.若函数f(x)＝(a∈Z)在区间(﹣2，＋∞)上单调递增，则a的最小值为(　　)

A.1         B.2        C.3         D.4

4.已知函数f(x)，满足对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＞0，若f(2a)＞f(6﹣a)，则a的取值范围是(　　)

A.(0,2)         B.(﹣∞，2)      C.[2，＋∞)         D.(2，＋∞)

5.若函数f(x)＝ex﹣e﹣x＋sin 2x，若a＝f(log23)，b＝，c＝f(2﹣2)则a，b，c的大小为(　　)

A.a＞b＞c         B.a＞c＞b     C.c＞b＞a         D.b＞a＞c

6.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c(b∈R，c∈R)，M，N分别是函数f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值，则M﹣N的最小值为(　　)

A.2         B.1         C.         D.

7.函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则下列结论成立的是(　 　)

A.f(1)<f()<f()          B.f()<f(1)<f()  

C.f()<f()<f(1)          D.f()<f()<f(1)

8.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+3在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是(　　)

A.[0,)       B.(0,]        C.(0,)         D.[0,]

9.若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)=0；

(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.

①f(x)=sinx；②f(x)=－2x3；③f(x)=1－x；④f(x)=ln(＋x).

以上四个函数中，“优美函数”的个数是(　 　)

A.0        B.1        C.2        D.3

10.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2﹣2x＋a)＜f(x＋1)对任意的x∈[﹣1,2]恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.(﹣∞,)       B.(﹣∞，﹣3)    C.(﹣3，＋∞)         D.(,+∞)

二              、多选题

11. (多选)已知函数f(x)＝x＋，下列说法正确的是(　　)

A.m＝﹣1时，f(x)在(﹣∞，0)上单调递增

B.m＝1时，f(x)在(0,1)上单调递减

C.m＜0时，f(x)在定义域上单调递增

D.m＞0时，f(x)在(，＋∞)上单调递增

12. (多选)已知函数f(x)＝ex﹣e﹣x，g(x)＝ex＋e﹣x，则以下结论错误的是(　　)

A.对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0

B.对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＜0

C.f(x)有最小值，无最大值

D.g(x)有最小值，无最大值

三              、填空题

13.若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是　　　　.

14.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是              .

15.设函数f(x)=g(x)=x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.

16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(﹣x)＝2，且在[0，＋∞)上单调递减，若对任意的x∈R，f(x2﹣a)＋f(x)＜2恒成立，则实数a的取值范围为________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：B.

解析：由题意知f(x)的定义域为.令t＝﹣x2﹣x＋6，则函数t在(﹣3,﹣]上单调递增，在[﹣,2)上单调递减.又y＝在其定义域上单调递减.故由复合函数的单调性知原函数的单调递增区间是[﹣,2).

2.答案为：D

解析：因为函数f(x)＝﹣x|x|＋2x＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，单调递增区间是(﹣1,1)，单调递减区间是(﹣∞，﹣1)和(1，＋∞).

3.答案为：A

解析：f(x)＝＝a﹣.因为f(x)在(﹣2，＋∞)上单调递增，所以2a﹣1＞0，即a＞.因为a∈Z，所以a的最小值为1.

4.答案为：D

解析：依题意，f(x)在R上单调递增，因为f(2a)＞f(6﹣a)，所以只需2a＞6﹣a，解得a＞2.

5.答案为：B

解析：f′(x)＝ex＋e﹣x＋2cos 2x≥2＋2cos 2x≥0恒成立，所以f(x)为R上的增函数；因为log23∈(1，＋∞)，＝﹣log32∈(﹣1,0)，2﹣2＝，所以＜＜log23，所以f(log23)＞f(2﹣2)＞，故a＞c＞b.

6.答案为：B

解析：当﹣≤﹣1，即b≥2时，M﹣N＝f(1)﹣f(﹣1)＝2b≥4；当﹣≥1，即b≤﹣2时，M﹣N＝f(﹣1)﹣f(1)＝﹣2b≥4；当﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M﹣N＝f(1)﹣f(﹣)＝1＋b＋≥1；当0＜﹣＜1，即﹣2＜b＜0时，M﹣N＝f(﹣1)﹣f(﹣)＝1﹣b＋＞1.综上所述，M﹣N的最小值为1.

7.答案为：B.

解析：因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x)=f(4－x)，

所以f()=f()，f()=f().又0<<1<<2，f(x)在[0,2]上单调递增，

所以f()<f(1)<f()，即f()<f(1)<f().

8.答案为：D；

解析：当a=0时,f(x)=-6x+3在(-∞,3)上是减函数,符合题意;

当a≠0时,函数f(x)是二次函数,由题意有a>0且-≥3,解得0<a≤.

综上可知,0≤a≤.

9.答案为：B.

解析：由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数.

对于①，f(x)=sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；

对于②，f(x)=－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；

对于③，f(x)=1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；

对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”.故选B.

10.答案为：D.

解析：依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x2﹣2x＋a)＜f(x＋1)对任意的x∈[﹣1,2]恒成立，等价于x2﹣2x＋a＞x＋1对任意的x∈[﹣1,2]恒成立，等价于a＞﹣x2＋3x＋1对任意的x∈[﹣1,2]恒成立.设g(x)＝﹣x2＋3x＋1(﹣1≤x≤2)，则g(x)＝﹣(x﹣)2＋(﹣1≤x≤2)，当x＝时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g()＝，因此a＞.

二              、多选题

11.答案为：ABD.

解析：f(x)的定义域为(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，当m＜0时，y＝x与y＝都是增函数，故f(x)在(﹣∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，不能写成(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确，C错误；

当m＝1时，f(x)＝x＋，作出y＝x＋的图象(图略)，可知f(x)在(0,1)上单调递减，故B正确；当m＞0时，f′(x)＝1﹣＝，x∈(，＋∞)时，x2﹣m＞0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(，＋∞)上单调递增，故D正确.

12.答案为：ABC.

解析：对于A, f(x)＝ex﹣e﹣x中，y＝ex为增函数，y＝e﹣x为减函数，故f(x)＝ex﹣e﹣x为增函数，故对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有＞0，故A错误；

对于B，易得反例g(1)＝e1＋e﹣1，g(﹣1)＝e﹣1＋e1＝g(1)，故＜0不成立，故B错误；

对于C，因为f(x)＝ex﹣e﹣x为增函数，且当x→﹣∞时，f(x)→﹣∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)无最小值，无最大值，故C错误；

对于D, g(x)＝ex＋e﹣x≥2＝2，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时，等号成立，当x→＋∞时，g(x)→＋∞；当x→﹣∞时，g(x)→＋∞，故g(x)有最小值，无最大值，故D正确.

三              、填空题

13.答案为：c≤-2；

解析：函数y=|2x+c|=则函数y=|2x+c|在上单调递减,

在上单调递增,所以-≥1,解得c≤-2.

14.答案为：f(x)=sinx(答案不唯一).

解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可.如f(x)=sinx，答案不唯一.

15.答案为：[0,2).

解析：[g(x)=x2f(x－1)=当x＜2时，g(x)=－x2，

因此g(x)的递减区间为[0,2).]

16.答案为：(﹣∞,﹣).

解析：令F(x)＝f(x)﹣1，则F(x)在[0，＋∞)上单调递减，又F(﹣x)＝f(﹣x)﹣1，故F(x)＋F(﹣x)＝f(x)＋f(﹣x)﹣2＝0，所以F(x)为定义在R上的奇函数，故F(x)在R上为减函数.由f(x2﹣a)＋f(x)＜2恒成立，得F(x2﹣a)＋F(x)＜0恒成立，即F(x2﹣a)＜﹣F(x)＝F(﹣x)恒成立，可得x2﹣a＞﹣x恒成立，即a＜x2＋x＝(x+)2﹣恒成立，所以实数a的取值范围为(﹣∞,﹣).