2024年新高考数学一轮复习《双曲线》课堂练习(含详解)

2024年新高考数学一轮复习

《双曲线》课堂练习

一              、选择题

1.双曲线﹣＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A.y＝±x       B.y＝±x      C.y＝±x       D.y＝±x

2.已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线方程为2x＋y＝0，则m的值为(　　)

A.﹣       B.﹣1       C.﹣2       D.﹣4

3.若双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B.5　　　　C.　　　　D.2

4.设F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A.x±y＝0     B.x±y＝0     C.x±2y＝0       D.2x±y＝0

5.已知点F是双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)

A.(1，＋∞)　       B.(1，2)     C.(2，1＋)       D.(1，1＋)

6.已知双曲线C1：﹣＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2﹣2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)

A.(1,)     B.(,＋∞)   C.(1，2)      D.(2，＋∞)

7.以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 (　　)

A.x2﹣＝1         B.﹣y2＝1     C.x2﹣＝1       D.﹣＝1

8.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　)

A.3       B.16＋       C.12＋       D.24

9.已知双曲线x2﹣y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|﹣|P1P2|的最小值是________.

10.已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)

A.﹣＝1       B.﹣＝1    C.﹣＝1       D.x2﹣＝1

二              、填空题

11.若方程﹣＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.

12.已知双曲线x2﹣＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.

13.已知双曲线E：﹣＝1(a>0，b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.

14.已知F是双曲线﹣＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.

15.已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

16.已知双曲线C：﹣＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝，·＝0，则C的离心率为________.

三              、解答题

17.根据下列条件，求双曲线的标准方程：

①虚轴长为12，离心率为；

②渐近线方程为y＝±x，焦距为10；

③经过两点P(﹣3，2)和Q(﹣6，﹣7)；

18.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，﹣).

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.

19.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线距离为.

(1)求此双曲线的方程；

(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积.

20.已知点F1，F2分别是双曲线C：x2﹣＝1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2＝30°.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值.

0. 答案解析

1.答案为：A.

解析：[法一：(直接法)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.法二：(公式法)由e＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.]

2.答案为：D.

解析：[因为m＜0，则双曲线为：y2﹣＝1，渐近线方程为：±x＋y＝0，

所以＝2，解得m＝﹣4，故选D.]

3.答案为：A.

解析：[由题意可知b＝2a，∴e＝＝＝，故选A.]

4.答案为：B.

解析：[假设点P在双曲线的右支上，则∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.

在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2﹣2×4a×2c×cos 30°，

∴c2﹣2ac＋3a2＝0，∴e2﹣2e＋3＝0，∴e＝，∴＝，

∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴＝，

∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，故选B.]

5.答案为：B.

解析：[(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2﹣c2＋ac＞0，则e2﹣e﹣2＜0，解得﹣1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.

6.答案为：A.

解析：[由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

圆C2：x2＋y2﹣2ax＋a2＝0可化为(x﹣a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2﹣a2，所以c2>4(c2﹣a2)，即c2<a2，所以e＝<，又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为(1,).]

7.答案为：A.

解析：[设所求的双曲线方程为﹣＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1，0)，在x轴上的顶点为(±2，0).所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以双曲线标准方程为x2﹣＝1.]

8.答案为：B.

解析：[由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝.

由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝2a＝，①  |BF2|﹣|BF1|＝，②

①＋②得|AF2|＋|BF2|﹣(|AF1|＋|BF1|)＝，

又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，

则△ABF2的周长为16＋，故选B.]

9.答案为：8.

解析：[设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|﹣|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|﹣|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|﹣|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|﹣|P1P2|的最小值是8.]

10.答案为：D.

由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得﹣＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2﹣＝1，故选D.]

二              、填空题

11.答案为：(﹣∞，﹣2)∪(﹣1，＋∞).

解析：[因为方程﹣＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞﹣1或m＜﹣2.]

12.答案为：6.

解析：[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|﹣|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c﹣a＝﹣1，故|PF2|＝6.]

13.答案为：2.

解析：[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，又b2＝c2﹣a2，所以2e2﹣3e﹣2＝0，解得e＝2，或e＝﹣(舍去).]

14.答案为：9.

设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.

15.答案为：.

因为由双曲线的定义有|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4，

所以cos∠F1PF2＝＝＝.]

16.答案为：2.

如图，由＝，得F1A＝AB.

又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2//OA，BF2＝2OA.

由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，

又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，

又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，

又渐近线OB的斜率为＝tan 60°＝，

所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.]

三              、解答题

17.解：① 设双曲线的标准方程为﹣＝1或﹣＝1(a>0，b>0).

由题意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为﹣＝1或﹣＝1.

②设所求双曲线方程为﹣y2＝λ(λ≠0)，

当λ>0时，双曲线标准方程为﹣＝1，

∴c＝.∴＝5，λ＝5；

当λ<0时，双曲线标准方程为﹣＝1，

∴c＝.∴＝5，λ＝﹣5.

∴所求双曲线方程为﹣＝1或﹣＝1.

③设双曲线方程为mx2﹣ny2＝1.(mn>0)

∴解之得

∴双曲线方程为﹣＝1.

18.解：(1)∵e＝，

∴可设双曲线的方程为x2﹣y2＝λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4，﹣)，∴16﹣10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线的方程为x2﹣y2＝6，即﹣＝1.

(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝，

∴c＝2，∴F1(﹣2，0)，F2(2，0)，

∴kMF1＝，kMF2＝，

kMF1·kMF2＝＝﹣.

∵点M(3，m)在双曲线上，∴9﹣m2＝6，m2＝3，

故kMF1·kMF2＝﹣1，∴MF1⊥MF2.

∴·＝0.

法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，

∴F1(﹣2，0)，F2(2，0)，

＝(﹣2﹣3，﹣m)，＝(2﹣3，﹣m)，

∴·＝(3＋2)×(3﹣2)＋m2＝﹣3＋m2，

∵点M(3，m)在双曲线上，∴9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，

∴·＝0.

19.解：(1)依题意得

解得

故双曲线的方程为－x2＝1.

(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，

由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.

设∠AOB＝2θ，因为tan（－θ）＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.

又|OA|＝m，|OB|＝n，

所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.

20.解：(1)由题易知F2(，0)，可设M(，y1).

因为点M在双曲线C上且在x轴上方，

所以1＋b2﹣＝1，得y1＝b2，

所以|F2M|＝b2.在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，

所以|MF1|＝2b2.由双曲线的定义可知，|MF1|﹣|MF2|＝b2＝2，

故双曲线C的方程为x2﹣＝1.

(2)易知两条渐近线方程分别为l1：x﹣y＝0，l2：x＋y＝0.

设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为θ，

不妨设P1在l1上，P2在l2上，

则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝，|PP2|＝.

因为P(x0，y0)在双曲线x2﹣＝1上，所以2x﹣y＝2，

又易知cos θ＝，

所以·＝·cos θ＝·＝.