高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积精练

第八章立体几何初步

8.3　简单几何体的表面积与体积

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则(　　)

A.长方体的表面积为20

B.长方体的体积为6

C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3

D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2

答案BC

解析长方体的表面积为2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,

则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,

则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.

2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(　　)

A. B. C. D.1

答案A

解析三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.

3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　)

A.8 B.12 C.16 D.20

答案B

解析由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.

4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)

A.3π B. C.π D.1

答案B　

如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.

5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.

6.

用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC的边BC上的高为(　　)

A.1 B.2 C. D.2

答案D

解析∵直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,∴A'C'=,根据画直观图时平行于y轴的长度变为原来的一半,∴△ABC的边BC上的高AC=2A'C'=2.故选D.

7.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　　. 

答案10

解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,

所以AB·BC·CC1=120,

因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,

由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,

所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,

所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.

8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　　. 

答案90　138

解析该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.

9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为　　　　　. 

答案

解析∵侧棱SA=2,高SO=2,

∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.

10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,则它的深度为　　　　　 cm. 

答案75

解析设油槽的上、下底面积分别为S',S.由V=(S++S')h,得h==75(cm).

关键能力提升练

11.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)(　　)

A.1 946立方尺 B.3 892立方尺

C.7 784立方尺 D.11 676立方尺

答案B

解析由

题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱台的体积为×21×(62+202+6×20)=3 892(立方尺),故选B.

12.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=　　　　　. 

答案3∶4

解析设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.

13.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为　　　　　. 

答案1-

解析液体部分的体积为三棱锥体积的,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-.

14.(2021广东东莞期末)广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2,那么玩具石凳的表面积为　　　　　. 

答案8+24

解析根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为8××22sin 60°+6×22=8+24.

15.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?

解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,

于是OO1=h-PO1=h-x=h.

所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.

当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.

学科素养创新练

16.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.

解∵AB=10,

∴AD=AB=5,OD=AD=.

设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.

如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.

∴DH=OD-OH=x,

在Rt△D1DH中,D1D==2x.

∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,

∴(x+10)×2x,

即40=(x+10)(10-x),

∴x=2,故上底面的边长为2.