人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课后复习题

第七章复数

7.1　复数的概念

7.1.2　复数的几何意义

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是(　　)

A.(3,1) B.(-2,0)

C.(0,4) D.(-1,-5)

答案ACD

解析易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数.

2.(2021安徽瑶海月考)若复数z=(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,则z的共轭复数是(　　)

A.-i B.i C.-2i D.2i

答案B

解析因为复数z=(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,所以a2-3a+2=0且a-2≠0,解得a=1,所以z=-i,故z的共轭复数是i.故选B.

3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是(　　)

A.

B.(-∞,2)

C.

D.∪(2,+∞)

答案A

解析由条件知,(x-1)2+(2x-1)2<10,

所以5x2-6x-8<0,故-<x<2.

4.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则||的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.(1,3) C.(1,) D.(1,)

答案C

解析由已知,得||=.由0<a<2,得0<a2<4,所以1<a2+1<5,故||=∈(1,).

5.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是　　　　. 

答案(1,2)

解析由已知,得解得1<x<2.

6.已知i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　. 

答案-2+3i

解析在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)与点(a,b)一一对应.因为点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数z2=-2+3i.

7.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=　　　　,=　　　　　. 

答案12　-12i

解析由条件知所以m=3,因此z=12i,故|z|=12,=-12i.

8.设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形?

解(方法一)由|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量的模等于5,即点Z到原点的距离等于5.因此,满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,以5为半径的圆.

(方法二)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2.

因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得x2+y2=25,故点Z的集合是以原点为圆心,以5为半径的圆.

关键能力提升练

9.(多选题)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　)

A.|z|=

B.复数z在复平面内对应的点在第四象限

C.z的共轭复数为-1+2i

D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上

答案AC

解析|z|=,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.

10.(多选题)(2021江苏泰州模拟)设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法正确的有(　　)

A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线

B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形

C.对任意复数z,

D.当z为实数时,

答案ABD

解析对于A,当z为纯虚数时,设z=bi(b∈R且b≠0),则P(0,b),O(0,0),Q(0,-b)三点共线,故A正确;对于B,当z=1+i时,=1-i,则P(1,1),Q(1,-1),|OP|=|OQ|,且=1×1-1×1=0,则△POQ为等腰直角三角形,故B正确;对于C,取z=1,则z==1,有,故C错误;对于D,当z为实数时,z=,则,故D正确.故选ABD.

11.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z=　　　　　. 

答案±i

解析因为z为纯虚数,所以设z=ai(a∈R,且a≠0),

则|z-1|=|ai-1|=.

又因为|-1+i|=,所以,即a2=1,

所以a=±1,即z=±i.

12.(2021江苏连云港期末)已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数为0,3+2i,-2+4i,则点B对应的复数为　　　　　. 

答案1+6i

解析设点B对应的复数为x+yi(x,y∈R),

∵四边形OABC是平行四边形,∴.

又A(3,2),B(x,y),C(-2,4),

∴(x,y)=(3,2)+(-2,4)=(1,6),

即x=1,y=6,则点B所对应的复数为1+6i.

13.在复平面内,已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z所对应的点的轨迹是什么?

解∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,

-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,

∴z的实部为正数,虚部为负数,

∴复数z所对应的点在第四象限.

设z=x+yi(x,y∈R),则

消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).

学科素养创新练

14.已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.

解∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,

∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.

若1-2a=0,解得a=,

当a=时,0·x2+>0恒成立.

若1-2a≠0,则

解得-1<a<.故a∈.

综上可得实数a的取值范围是.