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人教版高中数学选择性必修第二册综合测评含答案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合课后测评，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
综合测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列{an}的通项公式为an=2n+1,则第9项a9=( )
A.9 B.13
C.17 D.19
2.已知数列{an}是首项为3,公差为d(d∈N*)的等差数列,若2 019是该数列中的项,则公差d不可能是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,若公差d<0,且S2=S7,则下列结论不正确的是( )
A.S4=S5
B.S9=0
C.a5=0
D.S2+S7=S4+S5
4.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线方程为( )
A.y=2x-e
B.y=-2x-e
C.y=2x+e
D.y=-x-1
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=94,S6=9S3.若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是( )
A.-35 B.-25
C.25 D.35
6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=( )
A.-e B.-1
C.1 D.e
7.函数y=x3-x的导函数的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,-1)
C.-33,33 D.(-1,+∞)
8.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,且函数y=f(x)-2 021为奇函数,则不等式f(x)-2 020ex<1的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.-∞,1e D.1e,+∞
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且2a3+3a7=6,则a5的值可能是( )
A.2 B.4
C.85 D.83
10.下列函数存在极值点的是( )
A.y=x-1x B.y=2|x|
C.y=-2x3-x D.y=xln x
11.若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.则下列数列是“差递减数列”的有( )
A.an=3n
B.an=n2+1
C.an=n
D.an=ln nn+1
12.下列四个说法正确的是( )
A.当x>0且x≠1时,有ln x+1lnx≥2
B.函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是xx>-1a
C.函数f(x)=e-xx2在x=2处取得极大值
D.圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0的对称点M'也在该圆上
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(2)的值为 .
14.函数f(x)=x-2cos x在区间[0,π]上的最大值为 .
15.已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,12a5,a4成等差数列,则a4+a6a3+a5的值是 .
16.在数列{an}中,an=nsinnπ2+cosnπ2,前n项和为Sn,则a4= ,S100= .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2021河北石家庄模拟)在①a5=6,a1+S3=50,②S12>S9,a2+a21<0,③S9>0,S10<0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解决问题.
问题:设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 ,判断Sn是否存在最大值,若存在,求出Sn取最大值时n的值;若不存在,说明理由.
18.(本小题满分12分)(2021江苏南京检测)已知数列{an}满足a1=3,a2=5,且2an+2=3an+1-an,n∈N*.
(1)设bn=an+1-an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若数列{an}满足an≤m(n∈N*),求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-2x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程;
(2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值与最小值.
20.(本小题满分12分)(2021陕西西安检测)已知函数f(x)=2ln x+ax.
(1)若函数f(x)有极值,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,若函数f(x)在x=x1,x=x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>2.
21.(本小题满分12分)在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)2.记Tn为等比数列{bn}的前n项和,且b2+b4=20,T4=30.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)记a1b1+a2b2+…+anbn=Hn,是否存在m,n∈N*,使得Hn=am?若存在,求出所有满足题意的m,n;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-2ax,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f(x)+ex≥e-2a在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
综合测评
1.D 由通项公式,得a9=2×9+1=19,故选D.
2.D an=3+(n-1)d,令2 019=3+(n-1)d,则n=2 016d+1,∵n∈N*,d∈N*,∴d是2 016的约数,故d不可能是5,故选D.
3.D ∵S2=S7,∴S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0,∴a5=0,∴S4=S5,S9=9(a1+a9)2=9a5=0.
又d<0,∴当n=4或n=5时,Sn最大,即S2+S7
5.C 设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1,
则a1(1+q3)=94,a11-q(1-q6)=9a11-q(1-q3),解得a1=14,q=2,
所以an=14×2n-1=2n-3,所以bn=n-3,
所以数列{bn}的前10项和T10=10(b1+b10)2=5×(-2+7)=25.故选C.
6.B ∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x,令x=1,得f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1.
7.A 由y=x3-x,得y'=3x2-1.令f(x)=y'=3x2-1,则f'(x)=6x,由f'(x)=6x>0,得x>0.
所以函数f(x)=y'=3x2-1的单调递增区间为(0,+∞).
8.A 构造函数g(x)=f(x)-1ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)+1ex<0,所以函数g(x)=f(x)-1ex在R上单调递减.
由于函数y=f(x)-2 021为R上的奇函数,则f(0)-2 021=0,则f(0)=2 021,所以g(0)=f(0)-1e0=2 020.
由f(x)-2 020ex<1,得f(x)-1<2 020ex,即f(x)-1ex<2 020,所以g(x)
9.ABD ∵a3>0,a7>0,∴6=2a3+3a7≥22a3·3a7=26a52,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.
又a5>0,∴上式可化为a5≥2,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.故选ABD.
10.BD 对于A,求导得y'=1+1x2>0,函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,所以函数无极值点;对于B,x=0是函数的极小值点;对于C,求导得y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于D,求导得y'=1+ln x,当x∈0,1e时,y'<0,当x∈1e,+∞时,y'>0,当x=1e时,y'=0,所以x=1e是函数的极小值点.
11.CD 对于A,∵an+1-an=3(n+1)-3n=3,∴数列{an}不为“差递减数列”;对于B,∵an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,∴{an}不为“差递减数列”;对于C,∵an+1-an=n+1-n=1n+1+n,∴数列{an}为“差递减数列”;对于D,an+1-an=ln n+1n+2-ln nn+1=ln1+1n2+2n,
∴数列{an}为“差递减数列”.故选CD.
12.CD 当00,分a>0和a<0两种情况,求得x>-1a或x<-1a,故B错误;f(x)=e-xx2,则f'(x)=xe-x(2-x),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当00,f(x)单调递增,当x>2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故函数f(x)=e-xx2在x=2处取得极大值,故C正确;要证明圆上任一点M关于直线对称点M'也在圆上,即要证直线过圆心,x2+y2-10x+4y-5=0可化为(x-5)2+(y+2)2=34,圆心为(5,-2),代入直线方程得5a+2-5a-2=0,圆心在直线上,故D正确.故选CD.
13.18 f'(x)=3x2+2ax+b,由题意得f(1)=10,f'(1)=0,即a2+a+b+1=10,2a+b+3=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.经验证a=4,b=-11符合题意,此时f(x)=x3+4x2-11x+16,则f(2)=18.
14.π+2 f(x)=x-2cos x,则f'(x)=1+2sin x.
∵x∈[0,π],∴1+2sin x>0,
∴函数f(x)在[0,π]上单调递增,
∴f(x)的最大值为f(π)=π+2.
15.1+52 设{an}的公比为q,则q>0.
由a3,12a5,a4成等差数列,
可得a5=a3+a4,即a1q4=a1q2+a1q3,
即q2-q-1=0,解得q=1+52(负数舍去).
则a4+a6a3+a5=q(a3+a5)a3+a5=q=1+52.
16.4 0 易知a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,
∴a1+a2+a3+a4=0.
又sinnπ2+cosnπ2的周期为4,
∴a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=0,∴S100=0.
17.解若选①a5=6,a1+S3=50,
设等差数列{an}的公差为d,
则a5=a1+4d=6,a1+S3=4a1+3d=50,解得a1=14,d=-2,
所以前n项和为Sn=14n-n(n-1)=-n2+15n,
所以当n=7或8时,Sn取得最大值.
若选②S12>S9,a2+a21<0,
由S12-S9=a10+a11+a12=3a11>0,解得a11>0;
由a2+a21=a11+a12<0,所以a12<0,
所以等差数列{an}的公差d=a12-a11<0,
所以n≤11时,an>0,n≥12时,an<0,
所以n=11时,Sn取得最大值.
若选③S9>0,S10<0,
由S9=9(a1+a9)2=9a5>0,得a5>0;
由S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)<0,
得a5+a6<0,所以a6<0.
所以等差数列{an}的公差d=a6-a5<0,
所以当n≤5时,an>0,当n≥6时,an<0,
所以n=5时,Sn取得最大值.
18.(1)证明由题知,2an+2-2an+1=an+1-an,即bn+1=12bn,且b1=a2-a1=5-3=2,
则数列{bn}是以2为首项,12为公比的等比数列.
(2)解由(1)知bn=an+1-an=12n-2,
则当n≥2时,数列{bn}的前n-1项和Sn-1=a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1=2-12n-21-12=4-12n-3,
则an=7-12n-3,n≥2,当n=1时,a1=3也满足此式,
则由指数函数单调性知,an=7-12n-3<7,
若满足an≤m(n∈N*),则m≥7,
即实数m的取值范围是[7,+∞).
19.解(1)函数f(x)=ex-2x的导数为f'(x)=ex-2,
可得y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为1-2=-1,
则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y+x-1=0.
(2)令f'(x)=ex-2=0,得x=ln 2,
则当00,f(x)单调递增.
因此x=ln 2为f(x)的极小值点,也是最小值点,
又f(0)=1,f(2)=e2-4,f(ln 2)=2-2ln 2,
所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4.
20.(1)解f(x)=2ln x+ax,x∈(0,+∞),f'(x)=2x-ax2=2x-ax2,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)无极值,∴a≤0不符合题意.
当a>0时,当x∈a2,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈0,a2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴当x=a2时,函数f(x)取得极小值,∴a>0.
(2)证明当a=1时,f(x)=2ln x+1x,f'(x)=2x-1x2,f'(x1)=f'(x2),
∴2x1-1x12=2x2-1x22,即2(x2-x1)x1x2-x22-x12x12·x22=0.
∵x1≠x2,化简可得2x1x2-(x1+x2)=0,f(x1)+f(x2)=2ln x1+1x1+2ln x2+1x2=2ln(x2x2)+x1+x2x1x2=2ln(x1x2)+2,
∵x1+x2=2x1x2,由x1·x2>0且x1≠x2可得x1+x2>2x1x2,∴2x1x2>2x1x2,即x1x2>1,
∴f(x1)+f(x2)>2.
21.解(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-n(n-1)2=n,对n=1也成立.则数列{an}的通项公式为an=n.
设等比数列{bn}的公比为q,由b2+b4=20,T4=30,
可得q≠1,则b1+b3=10,q=b2+b4b1+b3=2,
又b1q+b1q3=20,解得b1=2,所以bn=2n.
(2)存在.由(1)得,anbn=n·12n,
则Hn=1×12+2×14+3×18+…+n12n,
12Hn=1×14+2×18+3×116+…+n12n+1,
两式相减可得12Hn=12+14+18+…+12n-n12n+1=12(1-12n)1-12-n·12n+1,
可得Hn=2-(n+2)·12n<2.
假设存在m,n∈N*,使得Hn=am,
可得2-(n+2)·12n=m,
则m=1,解得n=2.故当m=1,n=2时,Hn=am.
22.解(1)依题意,f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-2a=1-2axx,当a≤0时,1-2ax>0,f'(x)>0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在0,12a上单调递增,在12a,+∞上单调递减.
(2)由题意得,当x≥1时,ln x+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.
令h(x)=ln x+ex-2ax+2a-e,则h'(x)=1x+ex-2a,
令φ(x)=1x+ex-2a,则φ'(x)=ex-1x2,
因为x≥1,所以ex≥e,1x2≤1,所以φ'(x)>0,
所以φ(x)在[1,+∞)上单调递增,即h'(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h'(x)≥h'(1)=1+e-2a.
①当a≤1+e2时,h'(x)≥0,此时,h(x)在[1,+∞)上单调递增,而h(1)=0,所以h(x)≥0恒成立,满足题意;
②当a>1+e2时,h'(1)=1+e-2a<0,而h'(ln 2a)=1ln2a+2a-2a>0,根据函数零点存在定理可知,存在x0∈(1,ln 2a),使得h'(x0)=0.
当x∈(1,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以有h(x0)
综合测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列{an}的通项公式为an=2n+1,则第9项a9=( )
A.9 B.13
C.17 D.19
2.已知数列{an}是首项为3,公差为d(d∈N*)的等差数列,若2 019是该数列中的项,则公差d不可能是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,若公差d<0,且S2=S7,则下列结论不正确的是( )
A.S4=S5
B.S9=0
C.a5=0
D.S2+S7=S4+S5
4.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线方程为( )
A.y=2x-e
B.y=-2x-e
C.y=2x+e
D.y=-x-1
5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=94,S6=9S3.若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是( )
A.-35 B.-25
C.25 D.35
6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=( )
A.-e B.-1
C.1 D.e
7.函数y=x3-x的导函数的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,-1)
C.-33,33 D.(-1,+∞)
8.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,且函数y=f(x)-2 021为奇函数,则不等式f(x)-2 020ex<1的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.-∞,1e D.1e,+∞
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且2a3+3a7=6,则a5的值可能是( )
A.2 B.4
C.85 D.83
10.下列函数存在极值点的是( )
A.y=x-1x B.y=2|x|
C.y=-2x3-x D.y=xln x
11.若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.则下列数列是“差递减数列”的有( )
A.an=3n
B.an=n2+1
C.an=n
D.an=ln nn+1
12.下列四个说法正确的是( )
A.当x>0且x≠1时,有ln x+1lnx≥2
B.函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是xx>-1a
C.函数f(x)=e-xx2在x=2处取得极大值
D.圆x2+y2-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a-2=0的对称点M'也在该圆上
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f(2)的值为 .
14.函数f(x)=x-2cos x在区间[0,π]上的最大值为 .
15.已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,12a5,a4成等差数列,则a4+a6a3+a5的值是 .
16.在数列{an}中,an=nsinnπ2+cosnπ2,前n项和为Sn,则a4= ,S100= .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2021河北石家庄模拟)在①a5=6,a1+S3=50,②S12>S9,a2+a21<0,③S9>0,S10<0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解决问题.
问题:设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 ,判断Sn是否存在最大值,若存在,求出Sn取最大值时n的值;若不存在,说明理由.
18.(本小题满分12分)(2021江苏南京检测)已知数列{an}满足a1=3,a2=5,且2an+2=3an+1-an,n∈N*.
(1)设bn=an+1-an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若数列{an}满足an≤m(n∈N*),求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-2x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程;
(2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值与最小值.
20.(本小题满分12分)(2021陕西西安检测)已知函数f(x)=2ln x+ax.
(1)若函数f(x)有极值,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,若函数f(x)在x=x1,x=x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>2.
21.(本小题满分12分)在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)2.记Tn为等比数列{bn}的前n项和,且b2+b4=20,T4=30.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)记a1b1+a2b2+…+anbn=Hn,是否存在m,n∈N*,使得Hn=am?若存在,求出所有满足题意的m,n;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-2ax,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f(x)+ex≥e-2a在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
综合测评
1.D 由通项公式,得a9=2×9+1=19,故选D.
2.D an=3+(n-1)d,令2 019=3+(n-1)d,则n=2 016d+1,∵n∈N*,d∈N*,∴d是2 016的约数,故d不可能是5,故选D.
3.D ∵S2=S7,∴S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0,∴a5=0,∴S4=S5,S9=9(a1+a9)2=9a5=0.
又d<0,∴当n=4或n=5时,Sn最大,即S2+S7
5.C 设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1,
则a1(1+q3)=94,a11-q(1-q6)=9a11-q(1-q3),解得a1=14,q=2,
所以an=14×2n-1=2n-3,所以bn=n-3,
所以数列{bn}的前10项和T10=10(b1+b10)2=5×(-2+7)=25.故选C.
6.B ∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x,令x=1,得f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1.
7.A 由y=x3-x,得y'=3x2-1.令f(x)=y'=3x2-1,则f'(x)=6x,由f'(x)=6x>0,得x>0.
所以函数f(x)=y'=3x2-1的单调递增区间为(0,+∞).
8.A 构造函数g(x)=f(x)-1ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)+1ex<0,所以函数g(x)=f(x)-1ex在R上单调递减.
由于函数y=f(x)-2 021为R上的奇函数,则f(0)-2 021=0,则f(0)=2 021,所以g(0)=f(0)-1e0=2 020.
由f(x)-2 020ex<1,得f(x)-1<2 020ex,即f(x)-1ex<2 020,所以g(x)
9.ABD ∵a3>0,a7>0,∴6=2a3+3a7≥22a3·3a7=26a52,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.
又a5>0,∴上式可化为a5≥2,当且仅当3a3=2a7时,等号成立.故选ABD.
10.BD 对于A,求导得y'=1+1x2>0,函数在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,所以函数无极值点;对于B,x=0是函数的极小值点;对于C,求导得y'=-6x2-1<0恒成立,函数在R上单调递减,所以函数无极值点;对于D,求导得y'=1+ln x,当x∈0,1e时,y'<0,当x∈1e,+∞时,y'>0,当x=1e时,y'=0,所以x=1e是函数的极小值点.
11.CD 对于A,∵an+1-an=3(n+1)-3n=3,∴数列{an}不为“差递减数列”;对于B,∵an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,∴{an}不为“差递减数列”;对于C,∵an+1-an=n+1-n=1n+1+n,∴数列{an}为“差递减数列”;对于D,an+1-an=ln n+1n+2-ln nn+1=ln1+1n2+2n,
∴数列{an}为“差递减数列”.故选CD.
12.CD 当0
13.18 f'(x)=3x2+2ax+b,由题意得f(1)=10,f'(1)=0,即a2+a+b+1=10,2a+b+3=0,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.经验证a=4,b=-11符合题意,此时f(x)=x3+4x2-11x+16,则f(2)=18.
14.π+2 f(x)=x-2cos x,则f'(x)=1+2sin x.
∵x∈[0,π],∴1+2sin x>0,
∴函数f(x)在[0,π]上单调递增,
∴f(x)的最大值为f(π)=π+2.
15.1+52 设{an}的公比为q,则q>0.
由a3,12a5,a4成等差数列,
可得a5=a3+a4,即a1q4=a1q2+a1q3,
即q2-q-1=0,解得q=1+52(负数舍去).
则a4+a6a3+a5=q(a3+a5)a3+a5=q=1+52.
16.4 0 易知a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,
∴a1+a2+a3+a4=0.
又sinnπ2+cosnπ2的周期为4,
∴a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=0,∴S100=0.
17.解若选①a5=6,a1+S3=50,
设等差数列{an}的公差为d,
则a5=a1+4d=6,a1+S3=4a1+3d=50,解得a1=14,d=-2,
所以前n项和为Sn=14n-n(n-1)=-n2+15n,
所以当n=7或8时,Sn取得最大值.
若选②S12>S9,a2+a21<0,
由S12-S9=a10+a11+a12=3a11>0,解得a11>0;
由a2+a21=a11+a12<0,所以a12<0,
所以等差数列{an}的公差d=a12-a11<0,
所以n≤11时,an>0,n≥12时,an<0,
所以n=11时,Sn取得最大值.
若选③S9>0,S10<0,
由S9=9(a1+a9)2=9a5>0,得a5>0;
由S10=10(a1+a10)2=5(a5+a6)<0,
得a5+a6<0,所以a6<0.
所以等差数列{an}的公差d=a6-a5<0,
所以当n≤5时,an>0,当n≥6时,an<0,
所以n=5时,Sn取得最大值.
18.(1)证明由题知,2an+2-2an+1=an+1-an,即bn+1=12bn,且b1=a2-a1=5-3=2,
则数列{bn}是以2为首项,12为公比的等比数列.
(2)解由(1)知bn=an+1-an=12n-2,
则当n≥2时,数列{bn}的前n-1项和Sn-1=a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1=2-12n-21-12=4-12n-3,
则an=7-12n-3,n≥2,当n=1时,a1=3也满足此式,
则由指数函数单调性知,an=7-12n-3<7,
若满足an≤m(n∈N*),则m≥7,
即实数m的取值范围是[7,+∞).
19.解(1)函数f(x)=ex-2x的导数为f'(x)=ex-2,
可得y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为1-2=-1,
则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y+x-1=0.
(2)令f'(x)=ex-2=0,得x=ln 2,
则当0
因此x=ln 2为f(x)的极小值点,也是最小值点,
又f(0)=1,f(2)=e2-4,f(ln 2)=2-2ln 2,
所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4.
20.(1)解f(x)=2ln x+ax,x∈(0,+∞),f'(x)=2x-ax2=2x-ax2,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)无极值,∴a≤0不符合题意.
当a>0时,当x∈a2,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈0,a2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
∴当x=a2时,函数f(x)取得极小值,∴a>0.
(2)证明当a=1时,f(x)=2ln x+1x,f'(x)=2x-1x2,f'(x1)=f'(x2),
∴2x1-1x12=2x2-1x22,即2(x2-x1)x1x2-x22-x12x12·x22=0.
∵x1≠x2,化简可得2x1x2-(x1+x2)=0,f(x1)+f(x2)=2ln x1+1x1+2ln x2+1x2=2ln(x2x2)+x1+x2x1x2=2ln(x1x2)+2,
∵x1+x2=2x1x2,由x1·x2>0且x1≠x2可得x1+x2>2x1x2,∴2x1x2>2x1x2,即x1x2>1,
∴f(x1)+f(x2)>2.
21.解(1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-n(n-1)2=n,对n=1也成立.则数列{an}的通项公式为an=n.
设等比数列{bn}的公比为q,由b2+b4=20,T4=30,
可得q≠1,则b1+b3=10,q=b2+b4b1+b3=2,
又b1q+b1q3=20,解得b1=2,所以bn=2n.
(2)存在.由(1)得,anbn=n·12n,
则Hn=1×12+2×14+3×18+…+n12n,
12Hn=1×14+2×18+3×116+…+n12n+1,
两式相减可得12Hn=12+14+18+…+12n-n12n+1=12(1-12n)1-12-n·12n+1,
可得Hn=2-(n+2)·12n<2.
假设存在m,n∈N*,使得Hn=am,
可得2-(n+2)·12n=m,
则m=1,解得n=2.故当m=1,n=2时,Hn=am.
22.解(1)依题意,f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-2a=1-2axx,当a≤0时,1-2ax>0,f'(x)>0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在0,12a上单调递增,在12a,+∞上单调递减.
(2)由题意得,当x≥1时,ln x+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.
令h(x)=ln x+ex-2ax+2a-e,则h'(x)=1x+ex-2a,
令φ(x)=1x+ex-2a,则φ'(x)=ex-1x2,
因为x≥1,所以ex≥e,1x2≤1,所以φ'(x)>0,
所以φ(x)在[1,+∞)上单调递增,即h'(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h'(x)≥h'(1)=1+e-2a.
①当a≤1+e2时,h'(x)≥0,此时,h(x)在[1,+∞)上单调递增,而h(1)=0,所以h(x)≥0恒成立,满足题意;
②当a>1+e2时,h'(1)=1+e-2a<0,而h'(ln 2a)=1ln2a+2a-2a>0,根据函数零点存在定理可知,存在x0∈(1,ln 2a),使得h'(x0)=0.
当x∈(1,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以有h(x0)
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