人教A版高中数学数学选择性必修第二册模块综合测评习题含答案

这是一份高中数学全册综合精练，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=2,S4=6,则S8=(　　)
A.22 B.24 C.28 D.30
2.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线方程为(　　)
A.y=2x-e B.y=-2x-e
C.y=2x+e D.y=-x-1
3.在等差数列{an}中,4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,那么该数列的前14项和为(　　)
A.20 B.21 C.42 D.84
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a4=94,S6=9S3.若bn=log2an,则数列{bn}的前10项和是(　　)
A.-35 B.-25 C.25 D.35
5.中国明代商人程大位对书法和数学颇感兴趣,他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》.该书第五卷有问题云:“今有白米一百八十石,令三人从上互和减半分之,只云甲多丙米三十六石,问:各该若干?”大致意思是:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分,他们分得的米数构成等差数列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少石米?”则甲应该分得(　　)
A.78石 B.76石 C.75石 D.74石
6.已知函数f(x)=x2-ax-xln x,a∈R,若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
7.[2023河南南阳期末]对于函数f(x)=sin x+x-ex,x∈[0,π],下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)有唯一的极大值点
B.函数f(x)有唯一的极小值点
C.函数f(x)有最大值没有最小值
D.函数f(x)有最小值没有最大值
8.已知f(x)为定义在R上的可导函数,f'(x)为其导函数,且f(x) A.f(2 022) B.ef(2 022) C.ef(2 022)=f(2 023)
D.ef(2 022)>f(2 023)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9. 函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,下列说法正确的是(　　)


A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间
B.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
10.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,下列选项正确的是(　　)
A.公差d>0
B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小
D.当Sn>0时,n的最小值为8
11.[2023重庆长寿校级期末]已知数列{an}中,a1=2,an+1=(an+2+1)2-2,则关于数列{an}的说法正确的是(　　)
A.a2=5
B.数列{an}为递增数列
C.an=n2+2n-1
D.数列1an+1的前n项和小于34
12.已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是(　　)
A.ln 2>2e B.ln 3<3e
C.ln π>πe D.ln3ln π<3π
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)=aln x+bx2在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x-3,则a=　　　　　,b=　　　　　. 
14.[2023天津津南期末]随着双减政策的落地,小明决定利用写完作业后的时间进行了一次“阅读经典”的活动,阅读书籍共1 200页.他第一天只读了10页,之后采取了积极措施,从第二天起每一天阅读的量都比前一天多10页.在这次“阅读经典”活动中,小明一共进行的天数为　　　　　. 
15.在数列{an}中,已知a1=2,anan-1=2an-1-1(n≥2,n∈N*),记数列{an}的前n项之积为Tn,若Tn=2 023,则n的值为　　　　　. 
16.[2023北京丰台期末]已知函数f(x)=aln x-(x-1)2(a∈R)存在两个极值点x1,x2(x1 ①函数f(x)有零点;
②a的取值范围是-12,+∞;
③x2>1;
④f(x2)>0.
其中所有正确结论的序号是　　　　　. 
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)过函数y=f(x)=x3图象上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线.
(1)求出当Δx=0.1时割线的斜率;
(2)求y=f(x)=x3在x=x0处的瞬时变化率.











18.(12分)[2023浙江杭州校级期末]等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=-2,S3=-24,求:
(1)数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和Sn的最小值.




























19.(12分)设a∈R,函数f(x)=13x3-12(2a+1)x2+(a2+a)x.
(1)若函数g(x)=f'(x)x(x≠0)为奇函数,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在x=2处取得极小值,求实数a的值.





















20.(12分)[2023山东青岛崂山期末]某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中(1),(2),(3),(4)为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

(1)求f(6)的值;
(2)求出f(n)的表达式;
(3)求证:当n≥2时,1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+…+1f(n)-1<32.











21.(12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=3n·(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn.












22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex.
(1)若a∈(0,+∞),讨论f(x)在(0,a)上的单调性;
(2)若函数g(x)=f(x)-m(x-1)2在[1,2]上的最大值小于-2e3,求实数m的取值范围.


模块综合测评
1.D　设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,
则q≠1,
所以S2=a1(1-q2)1-q=2,S4=a1(1-q4)1-q=6,
所以1-q41-q2=1+q2=3,
解得q2=2,a11-q=-2,
所以S8=a1(1-q8)1-q=-2×(1-24)=30.
故选D.
2.A　y'=ln x+1,则曲线在点(e,e)处的切线斜率为ln e+1=2,
所以切线方程为y-e=2(x-e),
即y=2x-e,
故选A.
3.B　由4(a3+a4+a5)+3(a6+a8+a14+a16)=36,得12a4+12a11=36,
即a4+a11=3,
则数列{an}的前14项和为14(a1+a14)2=7(a4+a11)=21.
4.C　设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1,
则a1(1+q3)=94,a11-q(1-q6)=9a11-q(1-q3),
解得a1=14,q=2,
所以an=14×2n-1=2n-3,
所以bn=n-3,
所以数列{bn}的前10项和T10=10(b1+b10)2=5×(-2+7)=25.
故选C.
5.A　今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分,设他们分得的米数构成等差数列{an},只知道甲比丙多分三十六石,
因此公差d=a3-a13-1=-362=-18,
则前3项和S3=3a1+3×22×(-18)=180,
解得a1=78.
所以甲应该分得78石.
6.B　因为f(x)=x2-ax-xln x(a∈R),定义域为(0,+∞),
所以f'(x)=2x-a-ln x-1,
依题意f'(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
即2x-a-ln x-1≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
所以a≤2x-ln x-1在区间[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=2x-ln x-1,x∈[1,+∞),
则g'(x)=2-1x=2x-1x>0,g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以g(x)在x=1处取得最小值,
即g(x)min=g(1)=2×1-ln 1-1=1,
所以a≤1.
故选B.
7.A　∵f(x)=sin x+x-ex,x∈[0,π],
∴f'(x)=cos x+1-ex,令h(x)=f'(x),
则h'(x)=-sin x-ex<0在区间(0,π)上恒成立,
则f'(x)=cos x+1-ex在区间(0,π)上单调递减,
而f'(0)=1>0,f'(π)=-eπ<0,
∴存在x0∈(0,π),使得当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
又f(0)=-1,f(π)=π-eπ<-1,
则函数f(x)有唯一的极大值点,且函数f(x)有最大值和最小值.
故选A.
8.B　令F(x)=f(x)ex,
则F'(x)=f'(x)-f(x)ex,
因为f(x) 所以F'(x)>0,
故函数F(x)在R上单调递增,
所以F(2 023)>F(2 022),
故f(2 023)e2 023>f(2 022)e2 022,
即ef(2 022) 9.ABD　由题图可知,当x<-1或35或-10,
所以函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,5),单调递增区间为(-1,3),(5,+∞),
所以函数y=f(x)在x=-1,x=5处取得极小值,在x=3处取得极大值,故选项C错误,ABD正确.
10.ABD　因为{an}是等差数列,a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),
解得a1=-3d,
又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,
则a1<0,
故A,B正确.
因为Sn=d2n2+a1-d2n=d2n2-7d2n=d2n-722-49d8,
由n∈N*可知,当n=3或n=4时,Sn最小,故C错误,
令Sn=d2n2-7d2n>0,
解得n<0或n>7,又n∈N*,
故当Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.
故选ABD.
11.BCD　由an+1=(an+2+1)2-2,
得an+1+2=(an+2+1)2,
即an+1+2=an+2+1,
又a1=2,a1+2=2,
所以{an+2}是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以an+2=2+(n-1)×1=n+1,
即an=n2+2n-1,
所以a2=7,
故A错误,C正确.
由an=(n+1)2-2,可知{an}为递增数列,故B正确.
1an+1=1n2+2n=1n(n+2)=121n-1n+2,
所以数列1an+1的前n项和为121-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2<34,故D正确.
故选BCD.
12.ACD　构造函数f(x)=ln x-xe(x>0),f'(x)=1x-1e=e-xex,所以在区间(0,e)上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在区间(e,+∞)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e)=ln e-1=0,故f(x)≤0,当且仅当x=e时等号成立.即ln x-xe≤0,ln x≤xe,当且仅当x=e时等号成立.所以ln 2<2e,ln π<πe,AC选项错误,ln 3<3e,B选项正确.构造函数g(x)=lnxx(x>0),g'(x)=1-lnxx2,所以在区间(0,e)上,g'(x)>0,g(x)单调递增;在区间(e,+∞)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(3)>g(π),ln33>ln ππ⇒ln3ln π>3π,D选项错误.故选ACD.
13.2　1　由题得f'(x)=ax+2bx,
又f(1)=1,f'(1)=4,
即b=1,a1+2b×1=4,
所以a=2,b=1.
14.15　由题意可得“阅读经典”活动小明每天的读书页数为等差数列,
设该等差数列为{an},
由题意可得首项a1=10,公差d=10,
则通项公式an=a1+(n-1)d=10+10(n-1)=10n,
所以数列的前n项和Sn=n(a1+an)2=n(10+10n)2=5n2+5n,
设n天读完,则5n2+5n=1 200,
即n2+n-240=0,n∈Z,
解得n=15或n=-16(舍去),
所以n=15.
15.2 022　由anan-1=2an-1-1(n≥2,n∈N*)及a1=2,得a2=32,a3=43,a4=54,…,猜想an=n+1n.
经检验an=n+1n符合题意.
数列{an}的前n项之积为Tn=21×32×43×…×n+1n=n+1.
∴当Tn=2 023时,n的值为2 022.
16.①④　显然f(1)=0,①正确;函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax-2(x-1)=-2x2+2x+ax(x>0),
由于f(x)存在两个极值点,则-2x2+2x+a=0有两个不相等的正根,所以-2-2>0,a-2>0,Δ=4+8a>0,
解得-12 令f'(x)=0,
得-2x2+2x+a=0,
解得x1=-2+4+8a-4=1-1+2a2,x2=-2-4+8a-4=1+1+2a2,
又-12 则0 由前面分析可知,函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,
所以f(x2)>f(1)=0,④正确.
17.解(1)当Δx=0.1时,1+Δx=1.1,
故1+Δy=1.13=1.331,
故kPQ=1.331-11.1-1=3.31.
(2)ΔyΔx=(x0+Δx)3-x03Δx=(Δx)3+3(Δx)2·x0+3Δx·x02Δx=3x02+3x0·Δx+(Δx)2.
则瞬时变化率f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx
=limΔx→0[3x02+3x0·Δx+(Δx)2]=3x02.
18.解(1)由已知得a1+4d=-2,3a1+3d=-24,
解得a1=-10,d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-12.
(2)Sn=na1+n(n-1)2d=n2-11n=n-1122-1214.
当n=5或6时,Sn有最小值-30.
19.解(1)由已知,得f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a,
g(x)=f'(x)x=x+a2+ax-2a-1,x≠0.
∵g(x)=f'(x)x(x≠0)为奇函数,
∴∀x≠0,g(-x)+g(x)=0,
即-2a-1=0,
∴a=-12.
(2)f(x)的定义域为R,f'(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x
(-∞,a)
a
(a,a+1)
a+1
(a+1,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

∴f(x)在x=a+1处取得极小值,∴a+1=2,
∴a=1.
20.(1)解根据题意,由题干中的图形可得f(1)=1,f(2)=1+4=5,
f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12=25,
f(5)=1+4+8+12+16=41,f(6)=1+4+8+12+16+20=61.
(2)解根据题意,f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
……
由此类推:f(n+1)-f(n)=4n.
则f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(3)-f(2)]+[f(2)-f(1)]+f(1)=4(n-1)+4(n-2)+…+4×2+4×1+1=4[1+(n-1)](n-1)2+1=2n2-2n+1.
(3)证明由(2)的结论,f(n)=2n2-2n+1,
当n≥2时,1f(n)-1=12n2-2n=121n-1-1n,
则1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+…+1f(n)-1=1+121-12+12-13+…+1n-1-1n=1+121-1n=32-12n.
又由32-12n<32,故结论成立.
21.解(1)由an+1=2an+1可得an+1+1=2(an+1).
∵a1+1=2,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴an+1=2×2n-1=2n,
∴an=2n-1.
(2)由(1)知bn=3n·2n,
∴Tn=3×21+6×22+9×23+…+3(n-1)·2n-1+3n·2n,
∴2Tn=3×22+6×23+9×24+…+3(n-1)·2n+3n·2n+1,
∴-Tn=3×(21+22+23+…+2n)-3n·2n+1=3×2(1-2n)1-2-3n·2n+1=(3-3n)2n+1-6.
∴Tn=(3n-3)·2n+1+6.
22.解(1)f(x)=(x-2)ex,
则f'(x)=(x-1)ex,
令f'(x)>0,解得x>1,
令f'(x)<0,解得x<1,
故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
①当0 ②当a>1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,a)上单调递增.
(2)g(x)=f(x)-m(x-1)2=(x-2)ex-m(x-1)2,
g'(x)=(x-1)(ex-2m),
①当m≤0时,ex-2m>0,令g'(x)=0,解得x=1,
故g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故g(x)在[1,2]上单调递增,g(x)max=g(2)=-m≥0,不符合题意;
②当0 故-e2≤-m<0,-m<-2e3,无解,不符合题意;
③当e2 令g'(x)>0,解得x>ln 2m或x<1,
令g'(x)<0,解得1 故g(x)在[1,ln 2m)上单调递减,在(ln 2m,2]上单调递增,
故g(x)max=g(1)或g(2).
若g(1)是最大值,则g(1)=-e<-2e3,
此时g(2)=-m≤-e,则m≥e,
故e≤m 若g(2)是最大值,则-e 故2e3 故2e3 ④当m≥e22时,ln 2m≥2,
故g(x)在[1,2]上单调递减,g(x)max=g(1)=-e<-2e3,符合题意.
综上,m的取值范围是2e3,+∞.