高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式同步练习题

2.2　基本不等式

A级 必备知识基础练

1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)

A.1 B. C.2 D.4

2.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为(　　)

A. B. C. D.

3.(多选题)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)

A.0< B.<2

C.≥1 D.

4.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释,这个说法正确的是              (　　)

A.如果a>b>0,那么a>b

B.如果a>b>0,那么a2>b2

C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立

D.对任意正实数a和b,有a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立

5.(多选题)设x>0,y>0,xy=x+y+a,其中a为参数.下列选项正确的是(　　)

A.当a=0时,x+y的最大值为4

B.当a=0时,x+y的最小值为4

C.当a=3时,xy的最小值为9

D.当a=3时,xy的最大值为3

6.已知t>0,则的最小值为　　　　. 

7.已知正实数x,y满足x+2y=4,则xy的最大值为　　　　　,的最大值为　　　　　. 

8.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,求实数k的最小值.

9.已知a,b,c为正数,求证:≥3.

10.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.

B级 关键能力提升练

11.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,且x≠0,x+≥2

B.∃x∈R,使得x2+1≤2x

C.若x>0,y>0,则

D.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为9

12.(2022安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为(　　)

A.10 B.9 C.8 D.7

13.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是(　　)

A. B.ab≤

C.ab≤ D.

14.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　)

A.-3 B.2 C.3 D.8

15.(多选题)已知a,b均为正实数,则下列不等式不一定成立的是(　　)

A.a+b+≥3

B.(a+b)≥4

C.≥a+b

D.

16.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　. 

17.直角三角形的周长等于2,则这个直角三角形面积的最大值为　　　　. 

18.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.

C级 学科素养创新练

19.若a>0,b>0,且(a+b)=1.

(1)求ab的最大值;

(2)是否存在a,b,使得的值为?并说明理由.

2.2　基本不等式

1.D　∵ab=a+b≥2,()2≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.

2.B　∵0<x<1,∴1-x>0.

∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.

3.CD　A项:=2,∴ab≤4.

∵ab>0,∴,A错误;

B项:=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,

故B项错误;

C项:≥2≥2×=1,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C项正确;

D项:a2+b2≥=8,∴,当且仅当 a=b=2时,等号成立,∴D项正确.故选CD.

4.C　依题意,图中的四个直角三角形是全等的直角三角形,设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则大正方形的边长为,如题图,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和,即a2+b2≥4×ab=2ab,当a=b时,中间空白的正方形消失,即整个正方形与四个直角三角形重合.故选C.

5.BC　当a=0时,x>0,y>0,xy=x+y,

∴=1.

x+y=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当,且=1,即x=y=时,等号成立,x+y取得最小值4,A错误,B正确;

当a=3时,xy=x+y+3≥2+3,当且仅当x=y时,等号成立,解得≥3,即xy≥9,故xy的最小值为9,C正确,D错误.故选BC.

6.-1　=t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.

7.2　3　正实数x,y满足x+2y=4,则xy=x·2y≤=2,当且仅当x=2y即x=2,y=1时,等号成立,故xy的最大值为2.

∵≤2×=3,当且仅当x=y+1,且x+2y=4,即x=3,y=时,等号成立.

8.解因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k≥-(a+b),所以k≥--2.因为≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.所以--2的最大值为-4.所以k≥-4,即k的最小值为-4.

9.证明左边=-1+-1+-1=-3.∵a,b,c为正数,

∴≥2(当且仅当a=b时,等号成立);

≥2(当且仅当a=c时,等号成立);≥2(当且仅当b=c时,等号成立).

从而≥6(当且仅当a=b=c时,等号成立).

∴-3≥3,即≥3.

10.证明∵a>0,b>0,∴+b≥2=2a,+a≥2=2b,∴+b++a≥2a+2b,∴≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.

11.BCD　对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y>0时,等号成立,C正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,∴≤9,D正确.故选BCD.

12.C　因为a>0,b>0,则m≤(2a+b),

所以(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即b=2a时,等号成立,要使不等式恒成立,所以m≤8.即实数m的最大值为8.故选C.

13.BCD　当a>0,b>0时,因为,所以,当且仅当a=b时,等号成立,故A不正确;显然B,C,D均正确.

14.C　y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即 x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.

15.AD　对于A项,a+b+≥2≥2<3,当且仅当a=b=时,等号同时成立;对于B项,(a+b)·=2+≥4,当且仅当a=b时,等号成立;对于C项,=a+b,当且仅当a=b时,等号成立;当a=,b=时,,即,当a=b=1时,=1,即,所以D项满足题意.故选AD.

16.　∵a>b>c,

∴a-b>0,b-c>0,

∴.

当且仅当b=时,等号成立.

17.3-2　设直角三角形的两直角边长为a,b,则斜边长为,面积为S,周长L=2,由于a+b+=L≥2,当且仅当a=b时,等号成立,

∴.

∴S=ab≤2=·2=L2=3-2.

18.解∵(x+y)=1+a+,

又x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,

∴1+a+≥1+a+2,

当且仅当y=x时,等号成立.∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.

∴(+1)2≥9,即+1≥3,

∴a≥4,故a的最小值为4,此时y=2x=2.

19.解(1)∵(a+b)=1,∴a+b= .

∵a>0,b>0,∴a+b≥2,当且仅当a=b=时,等号成立,∴≥2,∴ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,∴ab的最大值为.

(2)不存在.理由如下,

∵a>0,b>0,∴≥2,当且仅当a=b=时,等号成立.

∵,∴不存在a,b使得的值为.