初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形5.2 菱形同步练习题

第5章　特殊平行四边形

5.2　菱形

第1课时　菱形的性质

基础过关全练

知识点1　菱形的定义

1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠1=∠2,求证:四边形ABCD是菱形.

2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,OB=OD,且AB=BC.求证:四边形ABCD是菱形.

知识点2　菱形的性质

3.(2022浙江杭州上城期末)矩形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　)

A.对边平行且相等　　　　B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直　　　　D.对角线相等

4.(2022浙江宁波鄞州期末)已知菱形ABCD的对角线AC=2,BD=4,则菱形ABCD的面积是              (　　)

A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12

5.【一题多解】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,

∠OAB=30°,则∠CBD=　　　　°.

6.【一题多变】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,AD=5,则菱形的面积等于　　　　.

[变式1]已知菱形ABCD的面积为24 cm2,若对角线AC=6 cm,则这个菱形的边长为　　　　cm. 

[变式2]在菱形ABCD中,对角线AC,BD的长分别是6和8,则菱形的周长是　　　　. 

7.【一题多变】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点与坐标原点O重合,菱形的边长为2 cm,∠DAB=60°,则点A的坐标为　　　　.

[变式]如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为　　　　.

8.【教材变式·P119例1变式】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=BD=4,求AC的长.

能力提升全练

9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动,同时,点Q从点B出发,沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动,将△PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P'.设点Q运动的时间为t秒,若四边形QPCP'为菱形,则t的值为              (　　)

A.　　　　D.3

10.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD的中点,连结EF.若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为　　　　. 

11.(2022浙江金华中考改编,24(1),)如图,在菱形ABCD中,点E从点B出发沿BC方向向终点C运动.过点E作EF⊥BC交AB于点F,在EF的右侧作矩形EFGH,若点G在AC上,求证:FA=FG.

12.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.

(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;

(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.

素养探究全练

13.【几何直观】(2022浙江宁波中考)图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,分别按要求画出图形.

(1)在图1中画出等腰三角形ABC,且点C在格点上;(画出一个即可)

(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABDE,且点D、E均在格点上.

图1       图2

答案全解全析

基础过关全练

1.证明　∵在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵∠1=∠2,∴AB=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

2.证明　∵在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,OB=OD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.

3.D　矩形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等.

4.A　∵菱形ABCD中,AC=2,BD=4,

∴菱形ABCD的面积=×2×4=4,

故选A.

5.60

解析　方法一:∵四边形ABCD是菱形,

∴AC平分∠BAD,BD平分∠ABC,AD∥BC.

∴∠BAD=2∠OAB,∠ABC=2∠CBD,∠BAD+∠ABC=180°.

∵∠OAB=30°,∴∠BAD=2∠OAB=60°.

∴60°+∠ABC=180°,∴∠ABC=120°.

∴2∠CBD=120°,∴∠CBD=60°.

方法二:∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,

∴∠OAB+∠OBA=90°,∠CBD=∠OBA,

∵∠OAB=30°,∴∠OBA=60°,

∴∠CBD=60°.

6.24

解析　∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=4,

∴OA==3,

∴AC=2OA=6,

∴菱形的面积=×6×8=24.

[变式1]5

解析　如图,设AC、BD交于点O,

∵菱形ABCD的面积为24 cm2,AC=6 cm,

∴BD=8 cm,

∵四边形ABCD为菱形,

∴AO=AC=3 cm,BO=BD=4 cm,AC⊥BD.

∴∠AOB=90°,

∴在Rt△AOB中,AB==5(cm),

故答案为5.

[变式2]20

解析　∵菱形的对角线互相垂直平分,

∴菱形ABCD的边长为=5,

∴菱形的周长是4×5=20.

故填20.

7.(-3,0)

解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,AC⊥BD,OB=OD,

∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,

∴BD=AD=2 cm,∴OD= cm.

∴OA==3(cm),

∴点A的坐标为(-3,0).

[变式](4,4)

解析　连结BD、AC交于点E(图略).由点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),可知BD∥x轴.

∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥x轴,

易知AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,

∴AC=4,故点C的坐标为(4,4).

故答案为(4,4).

8.解析　∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,

∴AC⊥BD,OB=BD,AO=AC.

∵AB=BD=4,∴OB=2,

∴AO=,

∴AC=4.

能力提升全练

9.B　如图,连结PP',交BC于点N,过P作PM⊥AC,垂足为M.

由题意易知BQ=t cm,AP=t cm,

∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°,

∵PM⊥AC,∴∠AMP=90°,∴AM=PM,

在Rt△APM中,AP=t cm,∴PM=t cm,

若四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,易知四边形PMCN为矩形,

∴PM=NC=t cm,

∴QC=2t cm,

∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6(cm),

∴t=2.故选B.

10.2

解析　∵E,F分别是AD,CD的中点,EF=,∴AC=2EF=2,

又∵BD=2,∴菱形ABCD的面积=.

11.证明　∵四边形ABCD是菱形,

∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,

∵四边形EFGH为矩形,

∴FG∥BC.∴∠AGF=∠ACB,

∴∠AGF=∠FAG,∴FA=FG.

12.解析　(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,

∴DC=AB,DC∥AB,

∵DE=BF,

∴EC=FA,

∵EC∥FA,∴四边形AFCE是平行四边形.

(2)设AE=x,∵四边形AFCE是菱形,

∴EC=AE=x,∵AB=CD=8,∴DE=8-x,

在Rt△ADE中,由勾股定理,得AD2+DE2=AE2,

即62+(8-x)2=x2,解得x=6.25,

∴菱形AFCE的周长=6.25×4=25.

素养探究全练

13.解析　(1)答案不唯一,如:

(2)如图: