高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用测试题

新人教A版高中数学必修第二册课本教材目录

第六章 平面向量及其应用

6.1平面向量的概念   6.2平面向量的运算   6.3平面向量基本定理及坐标表示  6.4平面向量的应用

第七章 复数

7.1复数的概念       7.2复数的四则运算   7.3复数的三角表示

第八章 立体几何初步

8.1简单的立体图形   8.2立体图形的直观图  8.3简单几何体的表面积与体积

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系      8.5空间直线、平面的平行     8.6空间直线、平面的垂直

第九章 统计

9.1随机抽样         9.2用样本估计总体      9.3统计分析案例 公司员工的肥胖情况调查分析

6.4.1平面向量在几何和物理中的运用(精讲)

考法一  平面向量在几何中的运用

【例1-1】(2020·四川南充市)中，，则一定是(   )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【答案】C

【解析】因为中，，则，

即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选

【例1-2】(2020·全国高一课时练习)已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于(    )

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解析】因为，

所以，

则，所以．故选：A．

【例1-3】(2021·贵州安顺市·高一期末)中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为(    )

A．-2 B．2 C．-1 D．1

【答案】C

【解析】在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设，

所以当，即时，原式取得最小值为.故选：C.

【举一反三】

1．(2020·福建福州市)如图，半径为1的扇形AOB中，， P是弧AB上的一点，且满足， M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为(   )

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】由题意可知，

以O为原点，OP所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系

则 ，设

所以

则

所以当m=n=0时

所以选C

2．(2020·全国高一课时练习)已知是非零向量，且满足，则的形状为(     )

A．等腰(非等边)三角形 B．直角(非等腰)三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】∵，∴，

即.

∵，∴，

即，

∴，即.

∵，∴，∴为等边三角形.

答案选C

3．(2019·江苏盐城市·高一期末)已知平面四边形满足，，，则的长为(    )

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则,

设，由，

则，所以，

又，所以，

，

即，

故选：B.

考法二 平面向量在物理中的运用

【例2-1】(2020·尤溪县第五中学高一期末)已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为(    )

A．100 B． C．50 D．

【答案】D

【解析】

如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，

根据向量的平行四边形法则，

故选：D

【例2-2】．(2020·全国高一课时练习)已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为(    )

A． B．10  C．20  D．

【答案】A

【解析】设，的对应向量分别为、，

以、为邻边作平行四边形如图，

则，对应力，的合力

，的夹角为，四边形是矩形，

在中，，，

.

故选：A．

【例2-3】．(2020·全国高一课时练习)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，，且，则.

故选:C

【举一反三】

1．(2021·江苏高一)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知有即所以，

故选：B．

2．(2020·朝阳区·北京八十中高一期中)一质点受到平面上的三个力，，(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为(    )

A．6 B．2 C．8 D．

【答案】D

【解析】根据题意，得

，

的大小为.

故选：D.

3．(2019·佛山市三水区实验中学高一月考)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东  则船实际航行的速度为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意画出矢量图如下：

为船速及航行方向，， 为水速及方向，为实际航行速度及方向，

由此.

故选：C.

4．(2020·全国高一课时练习)一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了米(m)，拉力的大小为牛(N)，方向与小车前进的方向所成角为，如图所示，则所做的功_______．

【答案】

【解析】拉力 可以分解为与平行水平方向的分力和与垂直竖直方向的分力之和，即，其中，

∴力 对物体所做的功．

故答案为：．

5．(2020·全国高一专题练习)如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？

【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是.

【解析】如图，作，使，则，.

设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且N.

所以 (N)， (N)．

所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是.

5．(2021·江苏高一)设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．

(1)求的大小；

(2)求与的夹角．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)由题意

，，且与的夹角为，

(2)，

，

，

，

，．