数学人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算同步练习题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
6.2.2 平面向量的数量积(精讲)
思维导图
常见考法
考法一 向量的数量积
【例1】(1)(2021·巴音郭楞蒙古自治州)已知，，与的夹角为60°，则________.
(2)(2021·江苏高一)已知是边长为6的正三角形，求=____________
(3)(2020·江西宜春市·高一期末)边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
【答案】(1)10(2)(3)
【解析】(1).故答案为：10.
(2)
如图是边长为的正三角形，所以，，
所以，故答案为：
(3)由题意画出示意图，如图，
则
.
【举一反三】
1．(2020·全国高一)在中，，，，则的值为( )
A．B．5C．D．
【答案】D
【解析】，，，.
故选：D.
2．(2020·全国高一)若，，则的最大值为________.
【答案】6
【解析】，所以.故答案为:
3．(2020·福建泉州市·高一期末)平行四边形中，，，，是线段的中点，则( )
A．0B．2C．4D．
【答案】C
【解析】如图，根据题意：，，且，，，
．故选：．
4．(2021·江苏高一)在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则( )
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，
所以，，
因此
.故选：B.
考法二 向量的夹角
【例2】(1)(2021·广东潮州)已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为( )
A．1B．-1C．D．-
(2)(2021·河南信阳市)若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】(1)C(2)D
【解析】(1)平面向量，满足，且，
，解得.故选：C
(2)∵非零向量，满足，
∴平方得，即 ，
则，由，
平方得得，即则，
则向量与的夹角的余弦值 ， ，
故选D.
【举一反三】
1．(2021·胶州市)已知，，则与的夹角为_________.
【答案】
【解析】根据已知条件，
去括号得：，
所以，故答案为：
2．(2021·河南)若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为
【答案】120°
【解析】
.
设向量与向量的夹角为则.又，所以
3．(2021·陕西西安市)若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．
【答案】
【解析】因为两个非零向量，满足，所以，即，所以，，
设向量与的夹角为，则
因为，所以故答案为：
考法三 向量的投影
【例3】(1)(2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考)已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为( )
A．B．C．D．
(2)(2020·江西宜春市·高一期末)已知，为单位向量，，则在上的投影为( )
A．B．C．D．
【答案】(1)B(2)C
【解析】(1)因为向量，，且与的夹角为所以，
故选：B
(2)因为，为单位向量，所以，
又，所以
所以，即，
所以，则，，
所以在上的投影为.故选：C.
【举一反三】
1．(2020·合肥市第六中学高一月考)已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为( )．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由题意，，
所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.
2．(2020·江西省崇义中学)设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为( )
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】,,.
,,
向量在向量上的投影的数量为.故选：D.
3．(2020·全国高一专题练习)设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，.
，.
设与方向相同的单位向量为，
向量和向量的夹角为，
则向量在向量上的投影向量为.故选:D.
4．(2020·安徽蚌埠市·高一期末)设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为( )
A．－B．－C．D．
【答案】A
【解析】依题意得，，
，
因此在方向上的投影为，故选A.
考法四 向量的模长
【例4】(2020·河北邢台市·)已知，，且向量与的夹角为，则( )
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】因为，，与的夹角为，
所以，则.故选：A.
【举一反三】
1.(2020·台州市金清中学高一期末)已知，，与的夹角为，那么等于
【答案】
【解析】，
.
2．(2020·四川省叙永县第一中学校高一期中)已知、满足：，，，则_________.
【答案】
【解析】，因为，，所以，
所以，可得，故答案为：.
3．(2020·广东佛山市·高一期末)已知，，则的最大值等于
【答案】
【解析】因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，
4．(2020·浙江杭州市·高一期末)若平面向量满足，则_________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
.故答案为：
考法五 平面向量运算的综合运用
【例5-1】(2020·黄梅国际育才高级中学高一期中)已知平面向量，，，，在下列命题中：①为单位向量，且，则；②存在唯一的实数，使得；③若且，则；④与共线，与共线，则与共线；⑤.正确命题的序号是( )
A．①④⑤B．②③④C．①⑤D．②③
【答案】C
【解析】①因为为单位向量，且，所以，则，故①正确；
②若，满足，但不能推出存在唯一的实数，使得，故②错误；
③向量的数量积运算不满足消去律，故③错误；
④若，则与不一定共线，故④错误；
⑤由于，所以，故⑤正确．故选：C．
【例5-2】(2020·全国高一)如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于、的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值为( )
A．B．4C．-5D．5
【答案】A
【解析】因为点是线段的中点，所以向量，
所以，
又因为向量，方向相反，
所以
.故选：A.
【举一反三】
1．(2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末)已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是( )
(1)若，则；(2)若，则
(3)若，则(4)若，则或
A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(2)(3)(4)
【答案】B
【解析】已知非零平面向量，，，
(1)若，则，所以或，即(1)错；
(2)若，则与同向，所以，即(2)正确；
(3)若，则，所以，则；即(3)正确；
(4)若，则，所以，不能得出向量共线，故(4)错；
故选：B.
2．(2020·湖北高一期末)已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是( )
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以 ，
所以，即，
由基本不等式的性质可知，，
，所以．故选：C．
3．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知向量，满足，若对任意模为2的向量，均有，则向量的夹角的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有
可得：可得:,
平方得到，即故选：B
4．(2020·浙江高一期末)设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，非零向量的夹角为，且，
则，
不等式对任意恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因为，所以，即，可得，
即实数的取值范围为.故选：A.