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高中数学6.4 平面向量的应用练习
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这是一份高中数学6.4 平面向量的应用练习，文件包含641平面向量在几何和物理中的运用精讲解析版docx、641平面向量在几何和物理中的运用精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
常见考法
考法一 平面向量在几何中的运用
【例1-1】（2020·四川南充市）中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】C
【解析】因为中，，则，
即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选
【例1-2】（2020·全国高一课时练习）已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【解析】因为，
所以，
则，所以．故选：A．
【例1-3】（2021·贵州安顺市·高一期末）中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】C
【解析】在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设，
所以当，即时，原式取得最小值为.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·福建福州市）如图，半径为1的扇形AOB中，， P是弧AB上的一点，且满足， M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】由题意可知，
以O为原点，OP所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系
则 ，设
所以
则
所以当m=n=0时
所以选C
2．（2020·全国高一课时练习）已知是非零向量，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰（非等边）三角形B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵，∴，
即.
∵，∴，
即，
∴，即.
∵，∴，∴为等边三角形.
答案选C
3．（2019·江苏盐城市·高一期末）已知平面四边形满足，，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.
考法二 平面向量在物理中的运用
【例2-1】（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ）
A．100B．C．50D．
【答案】D
【解析】
如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，
故选：D
【例2-2】．（2020·全国高一课时练习）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）
A．B．10 C．20 D．
【答案】A
【解析】设，的对应向量分别为、，
以、为邻边作平行四边形如图，
则，对应力，的合力
，的夹角为，四边形是矩形，
在中，，，
.
故选：A．
【例2-3】．（2020·全国高一课时练习）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，，且，则.
故选:C
【一隅三反】
1．（2021·江苏高一）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知有即所以，
故选：B．
2．（2020·朝阳区·北京八十中高一期中）一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6B．2C．8D．
【答案】D
【解析】根据题意，得
，
的大小为.
故选：D.
3．（2019·佛山市三水区实验中学高一月考）长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意画出矢量图如下：
为船速及航行方向，， 为水速及方向，为实际航行速度及方向，
由此.
故选：C.
4．（2020·全国高一课时练习）一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了米(m)，拉力的大小为牛(N)，方向与小车前进的方向所成角为，如图所示，则所做的功_______．
【答案】
【解析】拉力 可以分解为与平行水平方向的分力和与垂直竖直方向的分力之和，即，其中，
∴力 对物体所做的功．
故答案为：．
5．（2020·全国高一专题练习）如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是.
【解析】如图，作，使，则，.
设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且N.
所以 (N)， (N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是.
5．（2021·江苏高一）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意
，，且与的夹角为，
（2），
，
，
，
，．
常见考法
考法一 平面向量在几何中的运用
【例1-1】（2020·四川南充市）中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】C
【解析】因为中，，则，
即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选
【例1-2】（2020·全国高一课时练习）已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【解析】因为，
所以，
则，所以．故选：A．
【例1-3】（2021·贵州安顺市·高一期末）中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】C
【解析】在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设，
所以当，即时，原式取得最小值为.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·福建福州市）如图，半径为1的扇形AOB中，， P是弧AB上的一点，且满足， M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】由题意可知，
以O为原点，OP所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系
则 ，设
所以
则
所以当m=n=0时
所以选C
2．（2020·全国高一课时练习）已知是非零向量，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰（非等边）三角形B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵，∴，
即.
∵，∴，
即，
∴，即.
∵，∴，∴为等边三角形.
答案选C
3．（2019·江苏盐城市·高一期末）已知平面四边形满足，，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则,
设，由，
则，所以，
又，所以，
，
即，
故选：B.
考法二 平面向量在物理中的运用
【例2-1】（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ）
A．100B．C．50D．
【答案】D
【解析】
如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，
故选：D
【例2-2】．（2020·全国高一课时练习）已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ）
A．B．10 C．20 D．
【答案】A
【解析】设，的对应向量分别为、，
以、为邻边作平行四边形如图，
则，对应力，的合力
，的夹角为，四边形是矩形，
在中，，，
.
故选：A．
【例2-3】．（2020·全国高一课时练习）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，，且，则.
故选:C
【一隅三反】
1．（2021·江苏高一）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知有即所以，
故选：B．
2．（2020·朝阳区·北京八十中高一期中）一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6B．2C．8D．
【答案】D
【解析】根据题意，得
，
的大小为.
故选：D.
3．（2019·佛山市三水区实验中学高一月考）长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意画出矢量图如下：
为船速及航行方向，， 为水速及方向，为实际航行速度及方向，
由此.
故选：C.
4．（2020·全国高一课时练习）一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了米(m)，拉力的大小为牛(N)，方向与小车前进的方向所成角为，如图所示，则所做的功_______．
【答案】
【解析】拉力 可以分解为与平行水平方向的分力和与垂直竖直方向的分力之和，即，其中，
∴力 对物体所做的功．
故答案为：．
5．（2020·全国高一专题练习）如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是.
【解析】如图，作，使，则，.
设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且N.
所以 (N)， (N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是.
5．（2021·江苏高一）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意
，，且与的夹角为，
（2），
，
，
，
，．
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