高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算习题

四　对数运算

基础练习

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.logab=1成立的条件是 (　　)

A.a=b B.a=b,且b>0

C.a>0,且a≠1 D.a>0,a=b≠1

解析:选D.由对数的定义可得a>0,a=b≠1.

2.下列指数式与对数式的互化不正确的一组是 (　　)

A.e0=1与ln 1=0

B.log39=2与=3

C.=与log8=-

D.log77=1与71=7

解析:选B.log39=2化为指数式为32=9.

3.若a>0,且a≠1,c>0,则将ab=c化为对数式为 (　　)

A.logab=c B.logac=b

C.logbc=a D.logca=b

解析:选B.由对数的定义知,

若ab=c,则b=logac.

【补偿训练】

　　　若lob=c,则 (　　)

A.a2b=c　　　　　B.a2c=b

C.bc=2a D.c2a=b

解析:选B.由对数式和指数式的关系可得lob=c⇔(a2)c=b,即a2c=b.

4.方程=的解是 (　　)

A.x= B.x=

C.x= D.x=9

解析:选A.因为=2-2,

所以log3x=-2,所以x=3-2=.

5.若log34x=1,则4x+4-x的值为 (　　)

A.3 B.4 C. D.

解析:选D.因为log34x=1,所以4x=3,所以4x+4-x=3+=.

6.已知f(ex)=x,则f(3)= (　　)

A.ln 3 B.ln 6 C.ln 9 D.ln 12

解析:选A.令ex=3,所以x=ln 3,所以f(3)=ln 3.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.+ln(ln e)=　　　　. 

解析:原式=+ln 1=+0=.

答案:

【补偿训练】

　　　计算:×80.25+-0+=　　　　. 

解析:原式=×20.75+1+2=5.

答案:5

8.如果点P(lg a,lg b)关于x轴的对称点为(0,-1),则a=　　　,b=　　　　. 

解析:点P(lg a,lg b)关于x轴的对称点为(lg a,-lg b),

所以解得

答案:1　10

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.将下列对数式与指数式进行互化.

(1)2-4=.

(2)53=125.

(3)lg a=2.

(4)log232=5.

解析:(1)log2=-4.

(2)log5125=3.

(3)102=a.

(4)25=32.

10.设M={0,1},N={11-a,lg a,2a,a},是否存在实数a,使得M∩N={1}?

解析:若lg a=1,则a=10,

此时11-a=1,从而11-a=lg a=1,此时与集合元素的互异性矛盾;

若2a=1,则a=0,此时lg a无意义;

若a=1,此时lg a=0,从而M∩N={0,1},与条件不符;若11-a=1,则a=10,从而lg a=1,与集合元素的互异性相矛盾.

所以,不存在实数a使M∩N={1}成立.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.设=25,则x的值等于 (　　)

A.10 B.13 C.100 D.±100

解析:选B.由=25,得2x-1=25,

所以x=13.

2.方程log3(x-1)=log9(x+5)的解为 (　　)

A.x=-1 B.x=-1或x=4

C.x=4 D.x=-1且x=4

解析:选C.设log3(x-1)=log9(x+5)=t,则x-1=3t,x+5=9t=(3t)2.

所以解得x=4.

3.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于 (　　)

A. B. C. D.

解析:选C.由条件知,log3(log2x)=1, 所以log2x=3,所以x=8,所以=.

4.(多选题)下列选项中错误的是 (　　)

A.根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以lo16=4

B.对数式log32与log23的意义不一样

C.因为1a=1,所以log11=a

D.ln e=1

解析:选AC.A.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以A错;

B.log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以B正确;

C.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以C错;

D.由自然对数的定义知道D正确.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.对数式log(2x-3)(x-1)中实数x的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:由题意可得 解得x>,且x≠2.

所以实数x的取值范围是,2∪(2,+∞).

答案:,2∪(2,+∞)

6.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为　　　　　. 

解析:因为log2(log3x)=0,所以log3x=1.所以x=3.同理y=4,z=2.所以x+y+z=9.

答案:9

7.计算+2log31-3lg 10+3ln 1=　　　. 

解析:由对数的基本性质、指对数的关系,知:+2log31-3lg10+3ln1=3+2×0-3×1+3×0=0.

答案:0

【补偿训练】

　　　已知log2x=3,则=　　　. 

　　　解析:因为log2x=3,所以x=23=8,所以===.

答案:

8.16,17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N⇔b=logaN.①若a=log23,则2a+2-a=　　　　;②若2a=3,3b=2,则a=　　　　,b=　　　　. 

【解题指南】①由a=log23得2a=3,即可得出答案.

②由2a=3,3b=2,得a=log23,b=log32.

解析:①若a=log23,则2a=3,所以2a+2-a=2a+=3+=.

②若2a=3,3b=2,则a=log23,b=log32.

答案:①　②log23　log32

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.求下列各式中的x值:

(1)log2(x2-2)=0.

(2)lo(3x2+2x-1)=1.

解析:(1)因为log2(x2-2)=0,

所以x2-2=1,所以x2=3,所以x=±.

(2)因为lo(3x2+2x-1)=1,

所以解得x=-2.

10.(1)计算:.

(2)已知ln 2=m,ln 3=n,求e2m+3n的值.

解析:(1)===2.

(2)e2m+3n=e2m·e3n=(em)2·(en)3

=(eln 2)2·(eln 3)3=22·33=108.

11.解方程: -3lg x+4=0.

解析:设=a≥0,则3lg x=a2+2,所以原方程化为a-a2+2=0,解得a=-1或a=2.

因为a≥0,所以a=2.所以=2,

所以3lg x-2=4,所以lg x=2,x=100.

经检验知,x=100是原方程的根.