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2023年广东省中山小榄镇九年级中考数学一模考前训练（含答案）
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这是一份2023年广东省中山小榄镇九年级中考数学一模考前训练（含答案），共23页。试卷主要包含了计算，已知关于x的一元二次方程x2﹣，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省中山小榄镇一模考前训练
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算：（﹣2m2n3）2＝（ ）
A．4m4n5 B．﹣4m4n6 C．4m4n6 D．﹣4m4n5
2．二次函数y=-12(x-3)2-4图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×107
4．分式x2-49x+7的值为零，则x的值为（ ）
A．±7 B．7 C．﹣7 D．0
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3﹣k）x﹣2k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （ ）
A．4x+6y=382x+5y=48 B．4x+6y=482x+5y=38 C．4x+6y=485x+2y=38 D．4y+6x=482y+5x=38
7．如图，Rt△ABC和Rt△DAB叠放在一起，∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，则∠AEB的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．72°
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD=40，AC=52，则AE的长为（ ）
A．26 B．5 C．6 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．a﹣b≥am2+bm （m为任意实数）
C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若-13xy2与2xm﹣1yn+4是同类项，则n﹣m＝ ．
12．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3x﹣1的图象有最高点，那么a的取值范围是 ．
13．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，S△ABC＝8，则反比例函数的表达式为y＝ ．
第13题图 第15题图
14．若关于x的分式方程mxx+3-2=2xx+3无解，则m＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB＝6cm，则△DEB的周长为 ．
三．解答题一（共3小题，每题8分，共24分）
16．计算：4sin60°﹣|3-2|+20220-12+（14）﹣1．
17．先化简，再求值：a2-6ab+9b2a2-2ab÷（5b2a-2b-a﹣2b）-1a，其中a，b满足a+b=4a-b=2．
18．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．
（1）求证：AB∥EC；
（2）求证：△DAF∽△DEC．
四．解答题二（共3小题，每题9分，共27分）
19．党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
（1）问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
（2）该市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
20．重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡AD上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．
（1）求点Q所在位置的铅直高度；
（2）请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到0.1米）
21．如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数y2=kx的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n-kx＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．
五．解答题三（共2小题，每题12分，共24分）
22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，过点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：①∠DAC＝∠FAB；
②DF＝CE+EF；
（2）若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．
23．如图，以D为顶点的抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上存在一点P，使PO+PA的值最小，求此最小值；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算：（﹣2m2n3）2＝（ ）
A．4m4n5 B．﹣4m4n6 C．4m4n6 D．﹣4m4n5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（﹣2m2n3）2＝4m4n6，
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能熟记幂的乘方与积的乘方是解此题的关键，（ab）n＝anbn，（am）n＝amn．
2．二次函数y=-12(x-3)2-4图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），据此解答即可．
【解答】解：根据二次函数y=-12（x﹣3）2﹣4知，
函数的顶点坐标是：（3，﹣4）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3510000＝3.51×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．分式x2-49x+7的值为零，则x的值为（ ）
A．±7 B．7 C．﹣7 D．0
【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0，即可求出结论．
【解答】解：∵分式x2-49x+7的值为零，
∴x2-49=0x+7≠0，
解得：x＝7．
故选：B．
【点评】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0是解决此题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3﹣k）x﹣2k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（3﹣k）2﹣4×（﹣2k+3）＝0，然后解关于k的一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（3﹣k）2﹣4×（﹣2k+3）＝0，
整理得k2+2k﹣3＝0，
解得k1＝﹣3，k2＝1，
即k的值为﹣3或1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （ ）
A．4x+6y=382x+5y=48 B．4x+6y=482x+5y=38
C．4x+6y=485x+2y=38 D．4y+6x=482y+5x=38
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
4x+6y=482x+5y=38．
故选：B．
【点评】此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
7．如图，Rt△ABC和Rt△DAB叠放在一起，∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，则∠AEB的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．72°
【分析】根据∠BAC＝∠ABD＝90°，可得AC∥BD，外角性质就可求出最后结果．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，
∴AC∥BD，
∴∠CAD＝∠D＝45°，
∴∠AEB＝∠DAC+∠C＝45°+30°＝75°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形和外角性质，掌握性质的熟练应用是解题关键．
8．如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC=12AB•OB=12|x|•|y|=-12xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD=40，AC=52，则AE的长为（ ）
A．26 B．5 C．6 D．4
【分析】由CD、AE是Rt△ABC中线，得BE＝CE=12BC，AB＝2BD，由勾股定理得（40）2﹣BD2＝（52）2﹣（2BD）2＝BC2，即可求得BD＝2，则AB＝4，进而求得BC=CD2-BD2=6，BE＝3，则AE=AB2+BE2=5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CD、AE是Rt△ABC中线，
∴BE＝CE=12BC，BD＝AD=12AB，
∴AB＝2BD，
∵∠B＝90°，
∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2＝BC2，
∵CD=40，AC=52，
∴（40）2﹣BD2＝（52）2﹣（2BD）2，
∴BD＝2，AB＝4，
∴BC=CD2-BD2=(40)2-22=6，BE＝3，
∴AE=AB2+BE2=42+32=5，
∴AE的长为5，
故选：B．
【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、勾股定理等知识，将AB的长用BD表示，再根据勾股定理列方程是解题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．a﹣b≥am2+bm （m为任意实数）
C．3a+c＞0
D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．
【解答】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A正确；
B．∵抛物线的对称轴x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，
故B正确；
C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
故C错误；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若-13xy2与2xm﹣1yn+4是同类项，则n﹣m＝ ﹣4 ．
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【解答】解：∵-13xy2与2xm﹣1yn+4为同类项，
∴m﹣1＝1，n+4＝2，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴n﹣m＝﹣2﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
12．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3x﹣1的图象有最高点，那么a的取值范围是 a＜1 ．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，
∴a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
13．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，S△ABC＝8，则反比例函数的表达式为y＝ 8x ．
【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性可知OA＝OC，根据S△ABC＝8，可知S△ABO＝4，根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、C两点，
∴点A与点C关于点O对称，
∴OA＝OC，
∵S△ABC＝8，
∴S△ABO＝4，
∵S△ABO=k22=4，
∴k2＝8，
∴反比例函数的表达式为y=8x，
故答案为：8x．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．若关于x的分式方程mxx+3-2=2xx+3无解，则m＝ 4或2 ．
【分析】先把分式方程去分母得到（m﹣4）x＝6，再分m﹣4＝0和m﹣4≠0两种情况讨论求解即可．
【解答】解：mxx+3-2=2xx+3，
去分母得：mx﹣2（x+3）＝2x，
去括号得：mx﹣2x﹣6＝2x，
移项得：mx﹣2x﹣2x＝6，
合并同类项得：（m﹣4）x＝6，
∵分式方程无解，
∴当m﹣4＝0，即m＝4时满足题意，
当m﹣4≠0时，则x=6m-4=-3，
∴m＝2，
综上所述，m＝4或m＝2．
故答案为：4或2．
【点评】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，掌握分式方程无解的意义，进行分类讨论是解题关键．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB＝6cm，则△DEB的周长为 6cm ．
【分析】先利用角平分线的性质得到DC＝DE，则△DEB的周长＝BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，所以△DEB的周长＝AE+BE＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
AD=ADCD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△DEB的周长＝AE+BE＝AB＝6cm．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
三．解答题一（共3小题，每题8分，共24分）
16．计算：4sin60°﹣|3-2|+20220-12+（14）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：原式＝4×32-（2-3）+1﹣23+4
＝23-2+3+5﹣23
＝3+3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．先化简，再求值：a2-6ab+9b2a2-2ab÷（5b2a-2b-a﹣2b）-1a，其中a，b满足a+b=4a-b=2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=(a-3b)2a(a-2b)÷9b2-a2a-2b-1a
=(a-3b)2a(a-2b)×a-2b(3b-a)(3b+a)-1a
=3b-aa(3b+a)-1a
=3b-aa(3b+a)-3b+aa(3b+a)
=3b-a-(3b+a)a(3b+a)
=-23b+a，
∵a+b=4a-b=2，
∴a=3b=1，
∴原式=-23×1+3
=-13．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．
（1）求证：AB∥EC；
（2）求证：△DAF∽△DEC．
【分析】（1）由旋转得出△ABC与△ADE全等，得到AE＝AC，由∠EAC＝60°，证明△AEC为等边三角形，推出∠ACE＝∠BAC＝60°即可证明结论；
（2）由△ABC与△ADE全等，得到∠AED＝∠ACB，由对顶角相等，证明△ADE与△FDC相似，推出对应边的比相等，再由∠ADF＝∠EDC即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE．
∴AC＝AE，
∵∠EAC＝60°．
∴△AEC为等边三角形．
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥EC；
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠ACB，
又∵∠ADE＝∠FDC，
∴△ADE∽△FDC．
∴ADFD=DEDC，
∴ADDE=DFDC，
又∵∠ADF＝∠EDC，
∴△DAF∽△DEC．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，相似三角形的判定等，解答本题的关键是要熟练掌握相似的判定方法．
四．解答题二（共3小题，每题9分，共27分）
19．党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
（1）问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
（2）该市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树（100﹣m）万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，
根据题意得：4x+3y=3808x+5y=700，
解得x=50y=60，
答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树（100﹣m）万棵，
则50m+60(100-m)≤5460m≤58，
解得54≤m≤58，
∵m为整数，
∴m为54，55，56，57，58，
∴共有5种购买方案．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
20．重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡AD上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．
（1）求点Q所在位置的铅直高度；
（2）请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到0.1米）
【分析】（1）过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，由坡度的定义和勾股定理求出QG的长即可；
（2）锐角三角函数关系得出PF的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，如图所示：
则QG⊥BA，
∵QA＝3.9米，QG：AG＝1：2.4，
∴设QG＝x米，则AG＝2.4x米，
在Rt△AGQ中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝3.92，
解得：x＝1.5（负值已舍去），
答：点Q所在位置的铅直高度为1.5米；
（2）AG＝2.4x＝3.6（米），
∴EF＝NG＝AG+AN＝3.6+4.4＝8（米），
在Rt△PFE中，tan∠PEF=PFEF，
即tan53°=PFEF=PF8≈1.33，
解得：PF≈10.6（米），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（米），
∴信号塔PQ的高为：PQ≈10.6+1.5＝12.1（米），
答：信号塔PQ的高度大约为12.1米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数y2=kx的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n-kx＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据意义可得A（﹣3，0），B（0，﹣2），再根据待定系数法求得y1=-23x-2，再算出点D坐标为（3，﹣4），代入反比例函数y2=kx中即可求解；
（2）由题意得PA＝3，点C的横坐标为﹣6，代入二次函数表达式中求得C（﹣6，2），则PC＝2，再由S△CPD＝S△CPA+S△PAD=12PA⋅PC+12PA⋅|yD|即可求解；
（3）分析题意可得要求一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围，观察图形即可求解．
【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣2），
∵一次函数y1＝mx+n的图象过点A、B，
∴-3m+n=0n=-2，
解得：m=-23n=-2，
∴一次函数表达式为y1=-23x-2，
∵一次函数y=-23x-2的图象过点D（3，a），
∴a=-23×3-2=-4，
∴D（3，﹣4），
将点D（3，﹣4）代入y2=kx中得：k3=-4，
解得：k＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为y2=-12x；
（2）∵OP＝2OA＝6，
∴PA＝3，P（﹣6，0），
∵CP⊥x轴，
∴点C的横坐标为﹣6，
∵点C在反比例函数y2=-12x的图象上，
∴y=-12-6=2，
∴C（﹣6，2），
∴PC＝2，
∴S△CPD＝S△CPA+S△PAD=12PA⋅PC+12PA⋅|yD|=12×3×2+12×3×4=9；
（3）当mx+n-kx＞0，即mx+n＞kx时，
也就是一次函数的值大于反比例函数的值，
观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
五．解答题三（共2小题，每题12分，共24分）
22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，过点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：①∠DAC＝∠FAB；
②DF＝CE+EF；
（2）若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）①由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△CAB，可得∠DAF＝∠CAB，即可求解．
②由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△AEB，可得BE＝EF，即可求解；
（2）由全等三角形的性质可求∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝∠CAB＝45°，由等腰三角形的性质可求∠DAC＝50°，即可求解．
【解答】（1）①证明：∵AF⊥DE，
∴∠DFA＝90°＝∠B，
在Rt△ADF和Rt△CAB中，
AD=ACAF=AB，
∴Rt△ADF≌Rt△CAB（HL），
∴∠DAF＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠FAB；
②证明：如图，连接AE，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
AE=AEAF=AB，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴EF＝BE，
∵Rt△ADF≌Rt△CAB，
∴DF＝BC，
∴DF＝BC＝BE+CE＝EF+CE；
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝∠CAB＝45°，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠ADF+∠CDE＝65°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠CAF＝5°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．如图，以D为顶点的抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上存在一点P，使PO+PA的值最小，求此最小值；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（6，6），则OP+AP的最小值为AO′的长；
（3）先判断出△BCD是直角三角形，求出tan∠BDC=BCCD=3，tan∠CAO=OCOA=3，得出∠BDC＝∠CAO．分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+6，得y＝6，
∴C（0，6），
把y＝0代入y＝﹣x+6，得x＝6，
∴B（6，0），
由点B、C在抛物线上可得：-12×36+6b+c=0c=6，
解得：b=2c=6，
∴抛物线的解析式为：y=-12x2+2x+6；
（2）由（1）所得B（6，0），C（0，6），
可知以线段OB、OC为邻边的四边形为正方形，其第四个顶点的坐标为（6，6），记为O'（6，6），
由正方形的性质可知点O关于直线BC的对称点就是O'．
∵O'与O关于BC对称，
∴PO＝PO'，
∴PO+AP＝PO'+AP≥AO'，
∴当A、P、O'在一条直线上时，PO+PA有最小值且等于AO'的长度，
在y=-12x2+2x+6中，
令y＝0，则x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴AB＝8，BO'＝6，
在Rt△ABO′中，AO′=AB2+BO'2=10，
故PO+PA的最小值为10；
（3）如图：
∵y=-12x2+2x+6=-12(x-2)2+8，
∴D（2，8），
∵C（0，6）、B（6，0），
∴CD=22，BC=62，BD=45，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠BDC=BCCD=3，
∵A（﹣2，0），C（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，AC＝210，
∴tan∠CAO＝3，
∴∠BDC＝∠CAO，
当△ACQ∽△DCB时，有ACDC=AQDB，
即21022=AQ45，
解得AQ＝20，
∴Q（18，0）；
当△ACQ∽△DBC时，有ACDB=AQDC，
即21045=AQ22，
解得AQ＝2，
∴Q（0，0），
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点评】此题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求二次函数，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数等知识是解答本题的关键．
2023年广东省中山小榄镇一模考前训练
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算：（﹣2m2n3）2＝（ ）
A．4m4n5 B．﹣4m4n6 C．4m4n6 D．﹣4m4n5
2．二次函数y=-12(x-3)2-4图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×107
4．分式x2-49x+7的值为零，则x的值为（ ）
A．±7 B．7 C．﹣7 D．0
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3﹣k）x﹣2k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （ ）
A．4x+6y=382x+5y=48 B．4x+6y=482x+5y=38 C．4x+6y=485x+2y=38 D．4y+6x=482y+5x=38
7．如图，Rt△ABC和Rt△DAB叠放在一起，∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，则∠AEB的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．72°
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD=40，AC=52，则AE的长为（ ）
A．26 B．5 C．6 D．4
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．a﹣b≥am2+bm （m为任意实数）
C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若-13xy2与2xm﹣1yn+4是同类项，则n﹣m＝ ．
12．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3x﹣1的图象有最高点，那么a的取值范围是 ．
13．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，S△ABC＝8，则反比例函数的表达式为y＝ ．
第13题图 第15题图
14．若关于x的分式方程mxx+3-2=2xx+3无解，则m＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB＝6cm，则△DEB的周长为 ．
三．解答题一（共3小题，每题8分，共24分）
16．计算：4sin60°﹣|3-2|+20220-12+（14）﹣1．
17．先化简，再求值：a2-6ab+9b2a2-2ab÷（5b2a-2b-a﹣2b）-1a，其中a，b满足a+b=4a-b=2．
18．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．
（1）求证：AB∥EC；
（2）求证：△DAF∽△DEC．
四．解答题二（共3小题，每题9分，共27分）
19．党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
（1）问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
（2）该市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
20．重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡AD上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．
（1）求点Q所在位置的铅直高度；
（2）请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到0.1米）
21．如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数y2=kx的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n-kx＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．
五．解答题三（共2小题，每题12分，共24分）
22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，过点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：①∠DAC＝∠FAB；
②DF＝CE+EF；
（2）若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．
23．如图，以D为顶点的抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上存在一点P，使PO+PA的值最小，求此最小值；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算：（﹣2m2n3）2＝（ ）
A．4m4n5 B．﹣4m4n6 C．4m4n6 D．﹣4m4n5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（﹣2m2n3）2＝4m4n6，
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能熟记幂的乘方与积的乘方是解此题的关键，（ab）n＝anbn，（am）n＝amn．
2．二次函数y=-12(x-3)2-4图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（3，﹣4）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），据此解答即可．
【解答】解：根据二次函数y=-12（x﹣3）2﹣4知，
函数的顶点坐标是：（3，﹣4）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
3．因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A．3.51×105 B．3.51×106 C．3.51×107 D．0.351×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3510000＝3.51×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．分式x2-49x+7的值为零，则x的值为（ ）
A．±7 B．7 C．﹣7 D．0
【分析】根据分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0，即可求出结论．
【解答】解：∵分式x2-49x+7的值为零，
∴x2-49=0x+7≠0，
解得：x＝7．
故选：B．
【点评】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子＝0且分母≠0是解决此题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3﹣k）x﹣2k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1或3 D．﹣3或1
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（3﹣k）2﹣4×（﹣2k+3）＝0，然后解关于k的一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（3﹣k）2﹣4×（﹣2k+3）＝0，
整理得k2+2k﹣3＝0，
解得k1＝﹣3，k2＝1，
即k的值为﹣3或1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （ ）
A．4x+6y=382x+5y=48 B．4x+6y=482x+5y=38
C．4x+6y=485x+2y=38 D．4y+6x=482y+5x=38
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
4x+6y=482x+5y=38．
故选：B．
【点评】此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
7．如图，Rt△ABC和Rt△DAB叠放在一起，∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，则∠AEB的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．72°
【分析】根据∠BAC＝∠ABD＝90°，可得AC∥BD，外角性质就可求出最后结果．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ABD＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，
∴AC∥BD，
∴∠CAD＝∠D＝45°，
∴∠AEB＝∠DAC+∠C＝45°+30°＝75°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形和外角性质，掌握性质的熟练应用是解题关键．
8．如图，A是反比例函数y=kx的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC=12AB•OB=12|x|•|y|=-12xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y=kx的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出xy的值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD=40，AC=52，则AE的长为（ ）
A．26 B．5 C．6 D．4
【分析】由CD、AE是Rt△ABC中线，得BE＝CE=12BC，AB＝2BD，由勾股定理得（40）2﹣BD2＝（52）2﹣（2BD）2＝BC2，即可求得BD＝2，则AB＝4，进而求得BC=CD2-BD2=6，BE＝3，则AE=AB2+BE2=5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵CD、AE是Rt△ABC中线，
∴BE＝CE=12BC，BD＝AD=12AB，
∴AB＝2BD，
∵∠B＝90°，
∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2＝BC2，
∵CD=40，AC=52，
∴（40）2﹣BD2＝（52）2﹣（2BD）2，
∴BD＝2，AB＝4，
∴BC=CD2-BD2=(40)2-22=6，BE＝3，
∴AE=AB2+BE2=42+32=5，
∴AE的长为5，
故选：B．
【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、勾股定理等知识，将AB的长用BD表示，再根据勾股定理列方程是解题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．a﹣b≥am2+bm （m为任意实数）
C．3a+c＞0
D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x＝1时，y＜0，可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可对D进行判断．
【解答】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故A正确；
B．∵抛物线的对称轴x＝﹣1，
∴x＝﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，
故B正确；
C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
故C错误；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，
故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若-13xy2与2xm﹣1yn+4是同类项，则n﹣m＝ ﹣4 ．
【分析】根据同类项的定义即可求出答案．
【解答】解：∵-13xy2与2xm﹣1yn+4为同类项，
∴m﹣1＝1，n+4＝2，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴n﹣m＝﹣2﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
12．已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3x﹣1的图象有最高点，那么a的取值范围是 a＜1 ．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，
∴a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
13．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，S△ABC＝8，则反比例函数的表达式为y＝ 8x ．
【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性可知OA＝OC，根据S△ABC＝8，可知S△ABO＝4，根据反比例函数k的几何意义求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y=k2x的图象交于A、C两点，
∴点A与点C关于点O对称，
∴OA＝OC，
∵S△ABC＝8，
∴S△ABO＝4，
∵S△ABO=k22=4，
∴k2＝8，
∴反比例函数的表达式为y=8x，
故答案为：8x．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．若关于x的分式方程mxx+3-2=2xx+3无解，则m＝ 4或2 ．
【分析】先把分式方程去分母得到（m﹣4）x＝6，再分m﹣4＝0和m﹣4≠0两种情况讨论求解即可．
【解答】解：mxx+3-2=2xx+3，
去分母得：mx﹣2（x+3）＝2x，
去括号得：mx﹣2x﹣6＝2x，
移项得：mx﹣2x﹣2x＝6，
合并同类项得：（m﹣4）x＝6，
∵分式方程无解，
∴当m﹣4＝0，即m＝4时满足题意，
当m﹣4≠0时，则x=6m-4=-3，
∴m＝2，
综上所述，m＝4或m＝2．
故答案为：4或2．
【点评】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，掌握分式方程无解的意义，进行分类讨论是解题关键．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB＝6cm，则△DEB的周长为 6cm ．
【分析】先利用角平分线的性质得到DC＝DE，则△DEB的周长＝BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，所以△DEB的周长＝AE+BE＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
AD=ADCD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∴△DEB的周长＝AE+BE＝AB＝6cm．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
三．解答题一（共3小题，每题8分，共24分）
16．计算：4sin60°﹣|3-2|+20220-12+（14）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：原式＝4×32-（2-3）+1﹣23+4
＝23-2+3+5﹣23
＝3+3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．先化简，再求值：a2-6ab+9b2a2-2ab÷（5b2a-2b-a﹣2b）-1a，其中a，b满足a+b=4a-b=2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=(a-3b)2a(a-2b)÷9b2-a2a-2b-1a
=(a-3b)2a(a-2b)×a-2b(3b-a)(3b+a)-1a
=3b-aa(3b+a)-1a
=3b-aa(3b+a)-3b+aa(3b+a)
=3b-a-(3b+a)a(3b+a)
=-23b+a，
∵a+b=4a-b=2，
∴a=3b=1，
∴原式=-23×1+3
=-13．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．
（1）求证：AB∥EC；
（2）求证：△DAF∽△DEC．
【分析】（1）由旋转得出△ABC与△ADE全等，得到AE＝AC，由∠EAC＝60°，证明△AEC为等边三角形，推出∠ACE＝∠BAC＝60°即可证明结论；
（2）由△ABC与△ADE全等，得到∠AED＝∠ACB，由对顶角相等，证明△ADE与△FDC相似，推出对应边的比相等，再由∠ADF＝∠EDC即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE．
∴AC＝AE，
∵∠EAC＝60°．
∴△AEC为等边三角形．
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥EC；
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠ACB，
又∵∠ADE＝∠FDC，
∴△ADE∽△FDC．
∴ADFD=DEDC，
∴ADDE=DFDC，
又∵∠ADF＝∠EDC，
∴△DAF∽△DEC．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，相似三角形的判定等，解答本题的关键是要熟练掌握相似的判定方法．
四．解答题二（共3小题，每题9分，共27分）
19．党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，某市政府欲购进一批风景树绿化荒山，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
（1）问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
（2）该市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树（100﹣m）万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，
根据题意得：4x+3y=3808x+5y=700，
解得x=50y=60，
答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树（100﹣m）万棵，
则50m+60(100-m)≤5460m≤58，
解得54≤m≤58，
∵m为整数，
∴m为54，55，56，57，58，
∴共有5种购买方案．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
20．重庆移动为了提升网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡AD上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米．
（1）求点Q所在位置的铅直高度；
（2）请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果精确到0.1米）
【分析】（1）过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，由坡度的定义和勾股定理求出QG的长即可；
（2）锐角三角函数关系得出PF的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，如图所示：
则QG⊥BA，
∵QA＝3.9米，QG：AG＝1：2.4，
∴设QG＝x米，则AG＝2.4x米，
在Rt△AGQ中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝3.92，
解得：x＝1.5（负值已舍去），
答：点Q所在位置的铅直高度为1.5米；
（2）AG＝2.4x＝3.6（米），
∴EF＝NG＝AG+AN＝3.6+4.4＝8（米），
在Rt△PFE中，tan∠PEF=PFEF，
即tan53°=PFEF=PF8≈1.33，
解得：PF≈10.6（米），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（米），
∴信号塔PQ的高为：PQ≈10.6+1.5＝12.1（米），
答：信号塔PQ的高度大约为12.1米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数y2=kx的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n-kx＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据意义可得A（﹣3，0），B（0，﹣2），再根据待定系数法求得y1=-23x-2，再算出点D坐标为（3，﹣4），代入反比例函数y2=kx中即可求解；
（2）由题意得PA＝3，点C的横坐标为﹣6，代入二次函数表达式中求得C（﹣6，2），则PC＝2，再由S△CPD＝S△CPA+S△PAD=12PA⋅PC+12PA⋅|yD|即可求解；
（3）分析题意可得要求一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围，观察图形即可求解．
【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣2），
∵一次函数y1＝mx+n的图象过点A、B，
∴-3m+n=0n=-2，
解得：m=-23n=-2，
∴一次函数表达式为y1=-23x-2，
∵一次函数y=-23x-2的图象过点D（3，a），
∴a=-23×3-2=-4，
∴D（3，﹣4），
将点D（3，﹣4）代入y2=kx中得：k3=-4，
解得：k＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为y2=-12x；
（2）∵OP＝2OA＝6，
∴PA＝3，P（﹣6，0），
∵CP⊥x轴，
∴点C的横坐标为﹣6，
∵点C在反比例函数y2=-12x的图象上，
∴y=-12-6=2，
∴C（﹣6，2），
∴PC＝2，
∴S△CPD＝S△CPA+S△PAD=12PA⋅PC+12PA⋅|yD|=12×3×2+12×3×4=9；
（3）当mx+n-kx＞0，即mx+n＞kx时，
也就是一次函数的值大于反比例函数的值，
观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
五．解答题三（共2小题，每题12分，共24分）
22．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，过点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF．
（1）求证：①∠DAC＝∠FAB；
②DF＝CE+EF；
（2）若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．
【分析】（1）①由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△CAB，可得∠DAF＝∠CAB，即可求解．
②由“HL”可证Rt△AEF≌Rt△AEB，可得BE＝EF，即可求解；
（2）由全等三角形的性质可求∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝∠CAB＝45°，由等腰三角形的性质可求∠DAC＝50°，即可求解．
【解答】（1）①证明：∵AF⊥DE，
∴∠DFA＝90°＝∠B，
在Rt△ADF和Rt△CAB中，
AD=ACAF=AB，
∴Rt△ADF≌Rt△CAB（HL），
∴∠DAF＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠FAB；
②证明：如图，连接AE，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
AE=AEAF=AB，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴EF＝BE，
∵Rt△ADF≌Rt△CAB，
∴DF＝BC，
∴DF＝BC＝BE+CE＝EF+CE；
（2）解：∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴∠ADF＝∠ACB＝45°，AD＝AC，∠DAF＝∠CAB＝45°，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADC＝∠ADF+∠CDE＝65°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝65°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠CAF＝5°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．如图，以D为顶点的抛物线y=-12x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+6．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上存在一点P，使PO+PA的值最小，求此最小值；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（6，6），则OP+AP的最小值为AO′的长；
（3）先判断出△BCD是直角三角形，求出tan∠BDC=BCCD=3，tan∠CAO=OCOA=3，得出∠BDC＝∠CAO．分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+6，得y＝6，
∴C（0，6），
把y＝0代入y＝﹣x+6，得x＝6，
∴B（6，0），
由点B、C在抛物线上可得：-12×36+6b+c=0c=6，
解得：b=2c=6，
∴抛物线的解析式为：y=-12x2+2x+6；
（2）由（1）所得B（6，0），C（0，6），
可知以线段OB、OC为邻边的四边形为正方形，其第四个顶点的坐标为（6，6），记为O'（6，6），
由正方形的性质可知点O关于直线BC的对称点就是O'．
∵O'与O关于BC对称，
∴PO＝PO'，
∴PO+AP＝PO'+AP≥AO'，
∴当A、P、O'在一条直线上时，PO+PA有最小值且等于AO'的长度，
在y=-12x2+2x+6中，
令y＝0，则x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴AB＝8，BO'＝6，
在Rt△ABO′中，AO′=AB2+BO'2=10，
故PO+PA的最小值为10；
（3）如图：
∵y=-12x2+2x+6=-12(x-2)2+8，
∴D（2，8），
∵C（0，6）、B（6，0），
∴CD=22，BC=62，BD=45，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠BDC=BCCD=3，
∵A（﹣2，0），C（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，AC＝210，
∴tan∠CAO＝3，
∴∠BDC＝∠CAO，
当△ACQ∽△DCB时，有ACDC=AQDB，
即21022=AQ45，
解得AQ＝20，
∴Q（18，0）；
当△ACQ∽△DBC时，有ACDB=AQDC，
即21045=AQ22，
解得AQ＝2，
∴Q（0，0），
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点评】此题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求二次函数，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数等知识是解答本题的关键．
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