2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合等于（    ）

A．； B．； C．； D．．

【答案】D

【分析】求出集合，根据交集含义即可得到答案.

【详解】当时，；当时，；

当时，，故，故，

故选：D.

2．设，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】当时，选项A错误；

当时，选项B错误；

当时，选项C错误；

∵函数在上单调递增，

∴当时，．

本题选择D选项.

点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由，解不等式得出定义域.

【详解】由题意可得，解得且，即函数的定义域为.

故选：D

4．命题“”的否定是  

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

【解析】全称命题与存在性命题.

5．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称即可求解.

【详解】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；

选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；

选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.

故选：B

6．函数是幂函数，且在上单调递增，则 （    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.

【详解】由题意可知，，解得，.

故选：B

7．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】解：是R上的偶函数，且在上是增函数

在是减函数，， ， ；

故选：C．

8．是R上的奇函数，当时，，则时，（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性直接求出当时的函数解析式.

【详解】当时，，

当时，，则，

又为R上的奇函数，所以.

故选：C

9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.

【详解】对于A选项：，，故A错误；

对于B选项：，故B错误；

对于C选项：，故C正确；

对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误.

故选：C

二、多选题

10．下列各结论中正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．设，则“”是函数图像在x轴上方”的充分不必要条件

C．设，则“”是“”的必要不充分条件

D．“函数的图像过点”是“”的充要条件

【答案】AD

【分析】根据充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，由得同号，故，反之得同号，故，所以“”是“”的充要条件，故正确；

对于B选项，且时，函数图像在x轴上方；函数图像在x轴上方，则必有，故“”是函数图像在x轴上方”的必要不充分条件，故错误；

对于C选项，时，成立，反之，不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，故错误；

对于D选项，函数的图像过点，则，反之也成立.故“函数的图像过点”是“”的充要条件，正确.

故选：AD

11．下列命题正确的是（    ）

A．若，且，则

B．

C．若，且，则

D．

【答案】ABD

【分析】取，，A正确，取，得到，不成立，C错误，根据运算公式知BD正确，得到答案.

【详解】对选项A：取，则，正确；

对选项B：，，正确；

对选项C：取，得到，不成立，错误；

对选项D：，正确.

故选：ABD

12．下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为

B．已知，则的最小值为

C．若正数满足，则的最小值为

D．为正实数，若，则的最大值为

【答案】CD

【分析】根据基本不等式的条件即可判断A；利用配凑法结合基本不等式即可判断B；根据结合基本不等式，即可判断C；根据结合基本不等式，即可判断D.

【详解】解：对于A，当时，，故A错误；

对于B，若，则，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为，故B错误；

对于C，正数x，y满足，则，

则，

当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为3，故C正确；

对于D，，

即，当且仅当时，取等号.即的最大值为，故D正确；

故选：CD

三、填空题

13．函数（且）的图像恒过定点______.

【答案】

【解析】根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可.

【详解】由，.此时.

故图像恒过定点.

故答案为：

【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题.

14．设x≥0，y≥0且x＋2y＝1，则2x＋3y2的最小值为______．

【答案】

【分析】由实数x，y满足x≥0，y≥0且x+2y=1，我们易将y用x表示，且易给出其取值范围，则2x+3y2可表示为一个关于y的二次函数，结合二次函数在定区间上最值的求法，不难得到结果．

【详解】由x≥0，y≥0，x+2y=1知0≤y≤，

令Z=2x+3y2=2﹣4y+3y2=3（y﹣）2+

由函数解析式得：y∈（﹣∞，）时递减

所以当y=时，Z=2x+3y2有最小值

故答案为．

【点睛】（1）解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a（x﹣m）2+n的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x=m，可分成三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．

（2）二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力，所以历来为高考命题专家所青睐．解决最值问题的关键是与图象结合，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，还可结合最值公式、均值定理、配方法等．

15．设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为___________

【答案】

【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集.

【详解】由题意，，

在中，为奇函数且在上单调递减，

∴，，函数在和上单调递减，

∴当和时，；当和时，.

∵，

∴，即，

当时，解得：；当时，解得：，

∴不等式解集为：，

故答案为：.

16．已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________

【答案】

【分析】确定函数单调递增，变换得到，，得到，解得答案.

【详解】对任意的，且，都有成立，故函数单调递增，

，故恒成立，

，故，解得，即.

故答案为：

四、解答题

17．计算：

(1)求值：；

(2)．

【答案】(1)81

(2)

【分析】（1）根据指数式的运算直接计算即可；

（2）根据对数式的运算直接计算即可．

【详解】（1）原式

；

（2）原式

18．解下列关于x的不等式：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解即可.

（2）将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.

【详解】（1）等价于，即

解得，故该不等式的解集为：

（2）且，解得或.

即该不等式的解集为：

19．已知函数是奇函数，且.

(1)求实数的值；

(2)当时，的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.

【答案】(1)，

(2)单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数得到，根据得到，得到答案.

（2）确定，对任意，，得到，得到证明.

【详解】（1），，则，

，，

（2），在上单调递增，

对任意，，

， ，

故在上单调递增

20．已知函数.

(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)的定义域为；为偶函数

(2)

【分析】（1）先列不等式组求得函数的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）由，可得，则函数的定义域为

由

可得函数为偶函数

（2）由，

可得

由 ，可得

解之得，则实数的取值范围为

21．已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求实数的值；

(2)解关于的不等式：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得出实数的值；

（2）由指数的运算化简不等式，再解指数不等式即可.

【详解】（1）解：因为为奇函数

所以

故

（2）化简得，解得，故解集为：

22．吉祥物“冰墩墩”在北京年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为万元.每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于等于万盒时，；当产量大于万盒时，，若每盒玩具手办售价元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）.

(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；

(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？

【答案】(1)

(2)万盒

【分析】（1）根据题设公式，讨论产量小于等于万盒和产量大于万盒两种情况，从而写出所求函数关系式；

（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.

【详解】（1）当产量小于等于万盒时，,

当产量大于50万盒时，

故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为

（2）当时，

当时，当时，

当产量为万盒时，该企业在生产中所获利润最大.