2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高一上学期期中数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．（3，4）
【答案】A
【分析】求两个集合的交集就是这两个集合的公共元素组成的集合.
【详解】集合，，则
故选：A
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据根式与分式的定义域求解即可.
【详解】由题意，，故且.
故选：C
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出该命题的否定命题即可．
【详解】命题“，”中含有全称量词，故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，所以该命题的否定为“，”.
故选：C.
4．函数（且）的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数图象性质解决即可.
【详解】由指数函数（且）的图象恒过定点，
所以在函数中，当时，恒有，
所以（且）的图象过定点.
故选：B.
5．下列函数中图象关于原点对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义判断各函数的奇偶性即可.
【详解】对于A，记，因为，，所以函数不是奇函数，所以函数的图象不关于原点对称，A错误，
对于B，记，因为，所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，B正确，
对于C，记，因为，，所以函数不是奇函数，所以函数的图象不关于原点对称，C错误，
对于D，记，因为，，所以函数不是奇函数，所以函数的图象不关于原点对称，D错误，
故选：B.
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式得到或，根据范围的大小关系得到答案.
【详解】，即，故或，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求解函数的定义域，且，故函数为偶函数，排除BC；
再求出，排除D，选出正确答案.
【详解】定义域为R，且，
故为偶函数，所以排除选项B和选项C；
又，排除D.
故选：A．
8．若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数性质可求得的值域，由此可构造不等式求得结果.
【详解】，，，
与轴有公共点，，解得：.
故选：D.
二、多选题
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用比差法比较的大小，判断A，B，比较的大小，判断C，D.
【详解】，因为，所以，，
所以，即，所以A错误，B正确，
，因为，所以，，
所以，即，所以C错误，D正确，
故选：BD.
10．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。
【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；
对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；
对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．
故选：ACD．
11．（多选）音乐是由不同频率的声音组成的，若音1（d）的频率为f，则简谱中七个音1（d），2（re），3（mi），4（fa），5（s），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f，，，，，，，其中相邻两个音的频率比（后一个音比前一个音的比）是一个音到另一个音的音阶，上述音阶只有两个不同的值，记为，，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是（参考数据：，）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，从而根据题意可得，，然后逐个计算判断即可
【详解】由题意可知，相邻两个音的频率比分别为，，，，，，所以，，
对于A，，所以故A错误，
对于B，，所以B错误，
对于C，，故C正确．
对于D，，故D正确．
故选：CD．
12．已知a，，且，则下列a，b关系可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，根据 为增函数，且，分别分析，与三种情况讨论即可.
【详解】由题意，构造函数，易得为增函数，
所以.
对A，当时，有，此时，故A正确；
对B，当时，，即，故成立，故B正确；
对CD，当时，，即，故成立，故C错误，D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．___________.
【答案】
【分析】根据指数式，对数式运算性质化简计算即可.
【详解】原式
故答案为：
14．某个函数同时符合下列条件：①是幂函数；②在上单调递减；③是偶函数.则函数解析式可以为___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据奇偶函数与增减函数的定义直接得出结果.
【详解】若幂函数，
则函数的定义域为且，
故为偶函数；
并且已知函数在上单调递增，在上单调递减，符合条件.
故答案为：
15．已知函数称为高斯函数，表示不大于x的最大整数，如，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法求，再根据高斯函数的定义求的范围.
【详解】因为，所以，所以，所以，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
16．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.若，则的不动点为___________.
【答案】0或1
【分析】设的不动点为，由题意，再代入可得，进而求解即可.
【详解】设的不动点为，则由题意，又，故，即，所以，故为的不动点，故，即，解得或，即的不动点为0或1.
故答案为：0或1
四、解答题
17．已知二次函数的图象过点，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）图象过点，，可知函数的对称轴为，可设二次函数的顶点式，代入数据解方程组可得；
（2）根据二次函数的对称轴与定义域之间的关系，可找到最高点和最低点，进而求出值域.
【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得，
故函数解析式为.
（2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而，
故函数在上的值域为.
18．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为
(1)某次地震释放出的能量为焦耳，则这次地震的震级是多少？
(2)2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍？（，）
【答案】(1)6级
(2)31.6倍
【分析】(1)将能量值的值，代入关系式求震级即可；
(2) 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为，将震级代入关系式，化简求即可.
【详解】（1）将能量代入得
整理得，又，即
所以，解得，故此次地震震级为6级.
（2）设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为，由可得，
作差得
故，故里氏9.0级地震释放的能量是里氏8.0级地震释放的能量的31.6倍.
19．设函数
(1)若是奇函数，求a的值；
(2)若为增函数，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由奇函数的性质列方程求a的值；(2)根据单调性的定义列不等式求a的取值范围.
【详解】（1）由于为奇函数，故
故，整理得，解得，经检验都符合，故，
（2）当时，不符合题意，
当时，任取，
=，
因为在上单调递增，故，所以，
即函数在上单调递增，
当时，任取，
=，
因为在上单调递增，故，所以，
即函数在单调递减，与已知矛盾，
故所求的范围是.
20．已知函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)的取值范围是；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由条件可得不等式在上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围；（2）原不等式化为，根据的不同取值结合一元二次不打算的解法解不等式即可．
【详解】（1）可变形为，由已知在上恒成立，
下面分两种情况讨论
1.当时，不等式可化为，不等式不恒成立，与已知矛盾；
2.当时，由已知可得，即，解得
综上两种情况，的取值范围是；
（2）不等式化为，
1､当时，解集为；
2､当时，解集为；
3､当时，解集为；
4､当时，解集为；
5.当时，解集为.
21．设函数．
(1)当时，解不等式：；
(2)当时，存在最小值，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将代入函数的解析式，可得出所求不等式为，换元，可得出所求不等式为，求出的范围，可得出的范围；
（2）换元，由，可得出，设，分析二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，求出函数的最小值，结合题中条件，求出的值.
【详解】设，则.
（1）当时，，由，得，
则有，解得（舍去）或.
，解得，因此，不等式的解集为；
（2）当时，，设.
①若，即当时，函数在上单调递增，
则函数的最小值为，化简得.
当时，函数单调递增，则，方程无解；
②若，即当时，函数在上单调递减，
则函数的最小值为，化简得.
当时，函数单调递增，则，方程无解；
③若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为，
化简得，由于关于的函数单调递增，故方程最多有一个实根，又，.
综上所述，.
【点睛】本题考查指数不等式的求解，同时也考查了指数型函数的最值问题，将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，同时要对二次函数的对称轴与定义域的位置关系进行分类讨论，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.
22．（1）已知求证：；
（2），，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】(1)利用比较法证明即可，(2)利用基本不等式结合不等式的性质证明.
【详解】（1）因为
，所以；
（2）因为对任意正实数有
三式相加得，当且仅当时取等，
又，故，所以
即
整理得.当且仅当时取等.