2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆实验中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆实验中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用一元一次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】由，得，所以，

所以.

故选：A.

2．已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（    ）

A．-2 B．0 C．2 D．2或-2

【答案】A

【分析】由幂函数的定义求得m的值，再根据幂函数不过原点，舍去不合题意的值.

【详解】因为为幂函数，所以，解得，

当时，过原点，不合题意，舍去，

当时，不过原点，合题意，综上所述，

故选：A.

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据的否定为即可求解.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知：，的否定是：

，，

故选：.

4．已知是定义在R上的偶函数，且时，，则（    ）

A． B． C．2 D．-2

【答案】C

【分析】先求得，再利用偶函数的性质去求的值即可解决

【详解】由时，，可得，

又是定义在R上的偶函数，则

故选：C

5．已知，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用基本不等式中的配凑法即可求解.

【详解】因为，即，

所以，

当且仅当时，即时，有最小值.

故的最小值为.

故选：B.

6．已知是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性与单调性转化求解，

【详解】在上单调递减，，

则当时，，当时，，

而是奇函数，故，当时，，当时，，

的解集为，

故选：D

7．下列各式中，①；②；③；④．能表示为是的函数的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用函数的定义逐项判断即可求解.

【详解】对于①，要使有意义，只需要，解得，所以函数的定义域为空集，由函数的定义知，因为函数的定义域不能是空集，所以①不能表示为是的函数；

对于②，对于时，则对应的值不唯一，可以等于，也可以等于，所以②不能表示为是的函数；

对于③，由题意可知，函数的定义域为，定义域内的任意一个值按对应法则都有唯一实数与之对应，所以③能表示为是的函数；

对于④，由题意可知，函数的定义域为，定义域内的任意一个值按对应法则都有唯一实数与之对应，所以④能表示为是的函数；

故选：B.

8．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意即在上有解，设，化简转化为在上有解，分离参数可得，从而可得出答案.

【详解】即在上有解.

根据题意，为定义域上的“有点奇函数”，即在上有解.

即在上有解.

即在上有解.

即在上有解.

设（当且仅当时等号成立）

也即在上有解.

即在上有解.

，当且仅当,即时等号成立.

所以实数m的取值范围是

故选：B

二、多选题

9．下列结论中不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质判断选项A；求得不等式的解判断选项B；举反例否定选项C；求得不等式的解判断选项D.

【详解】选项A：若，则，则.判断正确；

选项B：若，则或或.判断错误；

选项C：令，，则.判断错误；

选项D：若，则，则.判断正确.

故选：BC

10．给出以下四个判断，其中正确的是（    ）

A．与表示同一函数

B．函数的图象与直线的交点最多有1个

C．函数，则的值为5

D．函数的值域为

【答案】BCD

【分析】选项A. 由定义域不同可判断；选项B.考查函数在处有无定义可判断；选项C. 先求出的解析式，从而可判断；选项D由分式函数的值域可判断.

【详解】选项A.  ，函数的定义域为

函数的定义域，它们的定义域不同，故不是同一函数，故选项A不正确

选项B. 若函数在处有定义，则函数的图象与直线有1个交点.

若函数在处没有定义，则函数的图象与直线没有交点.

所以选项B正确.

选项C. 由，则

所以，所以选项C正确.

选项D. 由

因为，所以，即函数的值域为

所以选项D正确.

故选：BCD

11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意判断方程是否有解即可﹒

【详解】解：对于A：，令，即，显然方程无实数根，故A错误；

对于B：，令，即，解得，所以函数存在不动点，故B正确；

对于C：，当时令，解得或，

当时令，解得（舍去），

所以存在不动点，，故C正确；

对于D：，令，显然方程无解，即不存在不动点，故D错误；

故选：BC

12．已知函数的定义域为，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在上是增函数

C．不等式的解集为

D．

【答案】AB

【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断C；利用，与可判断D.

【详解】对于A：令 ，得，所以，故A正确；

对于B：令，得，所以，

任取，且，则，

因为，所以，所以，

所以在上是增函数，故B正确；

对于C：因为，且，所以，

所以，

所以等价于，

又在上是增函数，且，所以 ，

解得，故C错误；

对于D：

，故D错误；

故选:AB．

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【详解】依题意，.

14．已知，；，则p是q的______条件．（在充分不必要､必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入）

【答案】必要不充分

【分析】将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解

【详解】因为，为真命题等价于不等式在上恒成立，

当时，显然不成立；

当时，，解得，

综上，实数的取值范围为，

所以，

又因为，

所以p是q的必要不充分条件．

故答案为：必要不充分.

15．已知 ，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_______．

【答案】

【分析】先求得的值，再去求解不等式的解集即可解决

【详解】由不等式的解集为

可得方程有二根：或

则，

则即

可化为，解之得

则不等式的解集为

故答案为：

16．已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数a的取值范围为_______．

【答案】

【分析】先求出在上的值域，从而由题意可得对任意的，都存在，，然后分和进行分类讨论即可得出答案.

【详解】在上单调递增，则当时，

对任意的，都存在，都有

即对任意的，都存在，

由时，，时，

所以当时，显然满足条件.

当时，，即对任意的，

若时，，则，解得

若，在上单调递减，在上单调递增.

所以，当时，不存在，使得

所以不满足题意.

综上所述：实数a的取值范围为：

故答案为：

四、解答题

17．已知是一次函数，且，．

(1)求的解析式；

(2)当时，求取值的集合．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设一次函数，根据题意列出相应的方程组，即可计算求解.

（2）化简得，，通过二次函数的性质，可求得的范围，进而得到答案.

【详解】（1）设一次函数，，

即，

解得：，

所以的解析式为；

（2）由（1）得，，对称轴为，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，

所以，因为，，

所以取值的集合为

18．已知p：关于x的方程有实数根；q：．

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若q是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)根据题意，将问题等价转化为不等式，解之即可求解；

(2)根据（1）得出：，然后将命题等价转化为，再根据集合的包含关系即可求解.

【详解】（1）因为命题p是真命题，所以方程有实根，

则有，解得或，

所以实数a的取值范围是．

（2）由（1）可知p：，则：．

因为q是的充分不必要条件，所以．

因为，所以，解得，

当或时，．

所以实数m的取值范围是．

19．已知函数．

(1)用定义法证明函数在上单调递增；

(2)求函数在上的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用函数单调性的定义即可求解；

（2）利用奇函数的定义及性质，结合（1）的结论及函数单调性与函数最值的关系即可求解.

【详解】（1）设对任意的，则

．

因为，所以，，，

所以，即，于是有．

故函数在上单调递增．

（2）由题可知，的定义域为关于原点对称，

所以，

所以是奇函数．

又由（1）得在上单调递增，

所以在上单调递增．

所以函数在上的最大值为．

20．已知函数是上的偶函数，当时，．

(1)当时，求解析式；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性求分段函数解析式的步骤即可解决；

（2）根据函数单调性，偶函数性质 即可解决.

【详解】（1）因为函数是上的偶函数，

当时，，

所以当时，，

所以，

因为，

所以，

故当时，

（2）由（1）知，，

当时，，

易知此时函数单调递增，由偶函数性质得，

当时，单调递减，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，

所以，

又因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

解得或．

故实数的取值范围为．

21．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：

未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.

(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；

(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.

【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数）

(2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析

【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可；

（2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可

【详解】（1）若选择模型（1），将以及代入可得

解得，即，经验证，符合题意；

若选择模型（2），将以及代入可得，

解得，即，

当时，，故此函数模型不符题意，

因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数）

（2）记日销售利润为，

当且为整数时，，

对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元）

当且为整数时，，

当时，利润单调递减，

故当时取得最大值，且最大值为（百元）

所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.

22．已知函数．

(1)若对任意，不等式恒成立，求的最小值；

(2)对于函数，若，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用指数函数的性质即可求解；

（2）根据已知条件将问题转化为，通过讨论的范围，结合函数单调性与函数最值的关系即可求解.

【详解】（1）不等式，即为，

化简，即对任意恒成立，

记．

由于时，，则，

所以，故的最小值为．

（2）由于函数是“可构造三角形函数”，

首先，必有才能保证；其次，必需即可，

当时，是上的增函数，则的值域为，由得：；

当时，，符合题意；

当时，是上的减函数，则的值域为，由得：，

综上，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：第一问直接利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用观察法及指数函数性质即可；第二问根据已知条件将问题转化为，即可，再利用函数单调性与函数的最值的关系即可.