2022-2023学年黑龙江省实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省实验中学高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则集合＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M、N，再由集合的交集运算可得选项．
【详解】解：由得，解得或，所以集合，
由得，解得，所以集合，
所以，
故选：B．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
3．有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Lgistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（ ）
A．50B．53C．60D．66
【答案】A
【分析】根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，整理得
所以，由于为非零常数，
所以.
故选：A
4．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.
【详解】由得 ，
若，则不等式无解．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．
综上，满足条件的的取值范围是
故选：C．
5．已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得：在单调递增，在单调递增，
且在上的最大值小于或等于在的最小值，即可求解.
【详解】因为是上的增函数，
所以，解得：，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分段函数两段都是增函数，且注意衔接点的取值.
6．设，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先用分离变量法将分离出来，将问题转化为大于等于的最大值的问题，故利用基本不等式求出的最大值即可.
【详解】由题意知：，，，∴
即：，
即：，
不等式两边同时乘以：，
要使恒成立，则恒成立，则大于等于的最大值即可，
又：，
当且仅当，即时取等号，
∴的最大值为，
∴.
故选：D.
7．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【详解】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
8．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，分析可知点、关于直线对称，可得出的值，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.
【详解】设，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由图可知，点、关于直线对称，则，
且函数在上为增函数，
由，因为，解得，
所以，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.
二、多选题
9．已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
【答案】ABC
【分析】解不等式得集合，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于的不等式组，解得范围即可得结果.
【详解】由，解得，∴，
非空集合，
又是的必要条件，所以，
当，即时，满足题意；
当，即时，
∴，解得，
∴的取值范围是，
实数m的取值可以是，
故选：ABC.
10．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．函数的最小值为2
C．若正数满足，则的最小值为3
D．设为正实数，若，则的最大值为
【答案】CD
【分析】A项时不符合；B项等号得不到；等式同时除以，结合“1”的妙用可验证C项；D项通过配方法和基本不等式可得，进而验证D项.
【详解】对A项，，当时，，故A项错误；
对B项，，若，则取等号时满足，无解，故B项错误；
对C项，，同时除以，得，则
，当且仅当时取到最小值，故C正确；
，
即，，，
故当时等号成立，即的最大值为，故D项正确.
故选：CD
11．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．是偶函数
D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【分析】化简，并求其定义域，即可判断A选项；利用导数计算函数单调性的方法，并结合函数奇偶性，即可判断B选项；利用函数奇偶性判断方法，即可判断C选项；利用导数计算函数单调性的方法，即可判断D选项.
【详解】解：因为，所以定义域为，故A正确；
因为，所以是偶函数，故C正确；
因为 ，当时，，所以在上单调递增，故D正确；
因为是偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，即有最小值，与的值域为矛盾，故B错误.
故选：ACD.
12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.
【详解】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
三、填空题
13．函数（且）恒过定点，则______．
【答案】
【分析】根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，函数恒过定点，
可得，解得，所以.
故答案为：.
14．已知，则__________.
【答案】
【分析】换元法可求得，代入根据对数的运算性质以及换底公式即可求得结果.
【详解】令，则，则，
所以，.
则.
故答案为：.
15．已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则____．
【答案】
【分析】画出函数图像，判断，根据范围和函数单调性判断时取最大值，计算得到答案.
【详解】如图所示：根据函数的图象
得，所以．结合函数图象，
易知当时在上取得最大值，所以
又，所以，
再结合，可得，所以.
故答案为
【点睛】本题考查了函数的值域，画出函数图像可以直观简洁得到答案.
16．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
四、解答题
17．计算（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据指数幂的运算性质与对数运算性质求解即可；
（2）根据对数运算法则求解即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
.
18．已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)，；
(2)答案见详解
【分析】（1）由解集确定是方程的解，解出，进而求得；
（2）原不等式等价于，对进行分类讨论即可求解
【详解】（1）因为不等式的解集为或，所以是方程的解，即，故的解为或，故；
（2），即，
当时，无解；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
19．前一阶段，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产．为此，该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供（万元）的专项补贴．企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
(1)求企业十一期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业十一期间加班追产所获收益最大?
【答案】(1)，；
(2)万元.
【分析】（1）依题意得到的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；
所以收益，
（2）由（1）可知，
其中，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
即当政府的专项补贴为万元时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元
20．设函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时，f (x)>0，f （1）＝2．
(1)求证：f (x)是奇函数；
(2)求证：是上增函数；
(3)当时，求函数的值域．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）先求出，再证明即得证；
（2）利用函数的单调性的定义证明；
（3）分析得到，再换元利用二次函数的图象分析求解.
【详解】（1）解：（1）证明：令，则有，
，
令，则有，即，
是奇函数．
（2）解：在定义域内任取，则，
时，，
，
又．
，
在上为增函数．
（3）解：令，所以
因为函数是奇函数，所以，
因为是上增函数，，
所以.
设，则，
令，所以，
所以，
当时，函数取最大值，当时函数取最小值.
所以函数的值域为.
21．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，
因为，所以，所以（经检验，符合题意）
（2）由（1）得，
因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是.
（3）因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以，
因为，
所以当，即时，取得最小值.
所以，即实数k的取值范围是
22．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.