2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用集合的并集定义求解即可．

【详解】集合，，则

故选：D

【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生计算能力，属于基础题．

2．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①②

③④

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】根据定义域和对应法则判断即可.

【详解】①的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故①不是；

②，对应法则不同，故②不是；

③，定义域都为，对应法则和定义域相同，故③是；

④定义域为都为R，对应法则和定义域相同，故④是.

故选：C.

3．已知，若，则的值是（    ）

A．1 B．1或 C．1或或 D．

【答案】D

【分析】根据分段函数解析式，将各段等于3，解方程取满足范围的值即可.

【详解】若，则，解得（舍去）；

若，则，解得或（舍去）；

若，则，解得（舍去），

综上，.

故选：D.

【点睛】本题考查了由分段函数的函数值求自变量，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

4．已知，，，则的最小值为（    ）

A．13 B．19 C．21 D．27

【答案】D

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.

【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27

故选：D

5．已知集合，函数的定义域为集合，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据开平方时被开方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式得到集合，再根据交集的定义求解即可.

【详解】函数有意义满足，解得，

因为，所以，解得.

故选：D.

6．已知函数满足，则在的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出函数的解析式，再求二次函数的值域.

【详解】∵

∴

在上单调递减，在上单调递增.

∴在处有最小值

又，，所以在处有最大值

故选：B.

7．已知函数f(x)=，在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D．

【答案】D

【解析】画出函数的大致图象，根据在上单调递减，得到的范围，从而求出的取值范围.

【详解】函数，画出函数的大致图象，如图所示：

函数在上单调递减，

由图象可知：，解得：，

故实数的取值范围是：.

故选：D.

8．如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为△的中心，设点走过的路程为，△的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】当 时, ，为一次递增函数,去掉B；当(BC中点) 时为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.

点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系

二、多选题

9．设函数，则（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】AC

【分析】利用函数奇偶性与单调性的定义判断函数的性质.

【详解】定义域为，

，则.

，

所以，是奇函数.

，且，

则=

=.

∵ ，∴，

∴，

∴，

∴在上单调递增.

故选：AC.

10．（多选）下列函数中，满足“，，都有”的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】由题设条件可得应为上的增函数，逐项判断后可得正确的选项.

【详解】因为，，都有，故应为上的减函数.

对于A，当 ，，则在上为增函数，故A错误.

对于B，在上为减函数，故B正确.

对于C，对称轴，故在上为增函数，故C错误.

对于D，在上为减函数，故D正确.

故选：BD．

11．下列命题中，是真命题的是（    ）

A． B．“”是“”的必要不充分条件 C．，  D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】BC

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据全称量词命题的真假判断C，根据集合的包含关系判断A.

【详解】解：对于A：因为，所以，故A错误；

对于B：由推不出，故充分不成立，

由可以得到且，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，即B正确；

对于C：因为，所以，，故C正确；

对于D：由推不出，如，，满足，但是，故充分性不成立，

由也推不出，如，，满足，但是，故必要性也不成立，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误；

故选：BC

12．已知的解集是，则下列说法正确的是（    ）

A．不等式的解集是

B．的最小值是

C．若有解，则m的取值范围是或

D．当时，，的值域是，则的取值范围是

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.

【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，

于是得，即，

对于A，不等式化为：，解得，A正确；

对于B，，，

当且仅当，即时取“=”，B正确；

对于C，，令，则在上单调递增，

即有，因有解，则，解得或，C不正确；

对于D，当时，，则，，

依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，

从而得或，因此，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．命题“”的否定为______.

【答案】

【分析】根据存在量词命题的否定格式解题.

【详解】命题“”的否定为

故答案为：

14．若幂函数为奇函数，则_____________

【答案】-1

【分析】先根据函数为幂函数，求得m，再由奇偶性验证即可.

【详解】因为函数是幂函数，

所以，

解得或，

当时，为偶函数，不符合题意；

当时，为奇函数，符合题意，

所以-1，

故答案为：-1

15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.

【答案】

【分析】抽象函数定义域的求法，运用整体法.

【详解】由已知可得，

解得，或.

故答案为：

16．已知函数，若使不等式成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题意知，可先求函数在给定区间上的最值，然后求解不等式.

【详解】使不等式成立，

则，只需满足即可.

∵

可知，f(x)在上单调递增

∴.

解，即

解得或.

故答案为：或.

四、解答题

17．求不等式的解集.

【答案】

【分析】由分式不等式的解法即可得出答案.

【详解】.由可得：，

所以，

所以，

所以不等式的解集为：.

故答案为：.

18．已知m为实数，.

(1)当时，求

(2)当时，求m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用补集的定义及交集的定义运算即得；

（2）利用二次函数的性质即求.

【详解】（1）当时，，，

∴，

所以.

（2）若，则对任意的恒成立

∴，

解得，

所以m的取值范围为.

19．利用定义法证明：函数在上是减函数.

【答案】证明见解析

【分析】根据单调性的定义证明即可.

【详解】证明：设

则，

，

，，，

，即，

所以函数在上是减函数.

20．已知函数

(1)画出函数的图象；

(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)图象见解析；

(2)或

【分析】（1）根据分段函数画出图象即可；

（2）题意可转化成对于恒成立，故求解即可

【详解】（1）因为，故在单调递减，

且，

故函数图象如图所示：

（2）若不等式对于恒成立，

则又，

，∴或，

∴实数的取值范围或

21．科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．

（1）求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围．

【答案】（1）30万元，最大值200%；（2）.

【解析】（1）分别写出与时研发利润率关于月研发经费的函数，再由基本不等式及函数的单调性求最值，取最大值中的最大者得结论；

（2）由（1）可得应付利润率关于研发经费的解析式，列不等式求解的范围即可

【详解】（1）由已知，当时，

．

当且仅当，即时，取等号；

当时，．

因为在上单调递减，所以．

因为，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%．

（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，

由（1）可知，此时月研发经费．

于是，令，

整理得，解得．

因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是．

【点睛】思路点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

22．已知二次函数，满足，且的解集为.

(1)求的解析式；

(2)求在区间的最大值.

【答案】(1)

(2)当时，，当时，.

【分析】（1）由，可得的对称轴为，再根据不等式的解集可得对应方程的根，结合韦达定理即可得解；

（2）分，和三种情况讨论，结合二次函数的最值即可得解.

【详解】（1）解：，的对称轴为，①，

又的解集为，的两根为且，

②，③，

解①②③得，，

；

（2）解：当时，，

当，即时，，

当，即时，，

综上所述：当时，，

当时，，

当时，.