2020-2021学年黑龙江省大庆市大庆中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省大庆市大庆中学高一下学期期中

数学试题

一、单选题

1．在复平面内，与向量对应的复数为z，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得到，再根据复数的除法运算计算即可.

【详解】向量对应的复数，所以.

故选：A.

2．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．

【详解】直观图正方形的边长为，，

原图形为平行四边形，其中，高，

，原图形的周长.

故选：B.

3．在矩形中，与相交于点，是线段的中点，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算法则，结合矩形的性质进行求解即可

【详解】因为，

所以，

故选：A

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求得所求表达式的值.

【详解】

.

故选：A

5．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

如上图，由边长为，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为，其表面积为，

∴此正八面体的体积与表面积之比为.

故选：B.

6．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（    ）

A．−2 B．2

C． D．−1

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数的概念，列出方程，即可求解.

【详解】根据复数的运算法则，可得，

因为复数是纯虚数，所以且，解得.

故选：C．

7．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，结合图形找出的外心及外接圆的半径，结合题意，找到三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积.

【详解】因为，

所以的外接圆的半径3，其外接圆的圆心为其斜边的中点，

三棱锥中，平面ABC，

所以，作平面，并且取，

所以点是三棱锥的外接球的球心，

连结，则有，

所以三棱锥外接球的表面积为，

故选：C.

【点睛】方法点睛：求外接球半径的常用方法：

（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；

（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

8．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的()倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据图象变换求解出的解析式，然后结合正弦函数的单调增区间以及的周期的范围，列出关于的不等式组并求解出的取值范围.

【详解】将函数的图象经过变化后得到的图象，

令()，即()，

∵在上是增函数，∴，

又，∴，

令时，解得，当且时，不符合题意，

故选：B.

【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数（或）的单调区间求解参数范围的步骤：

（1）根据函数以及单调性列出关于的不等式；

（2）将单调区间的端点值代入关于的不等式中，同时注意到单调区间的长度不会超过半个周期；

（3）由（1）（2）列出关于参数的所有不等式，由此求解出参数范围.

9．如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取的中点，劣弧的中点，根据平行关系可确定所求角为或其补角；在中，利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可求得结果.

【详解】取的中点，劣弧的中点，的中点，连接，，

分别为中点，，

，，，

又，为中点，，，

则异面直线与所成的角是或其补角.

连接，，，易得，

不妨设，则，，，，

，则，

在中，，

异面直线所成角范围为，

异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A.

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件利用正弦的和差化积公式展开化简得到，再利用二倍角公式化简求值即可．

【详解】，所以，

即，

∴，

.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换，解题关键是熟练掌握两角和差的正弦公式以及公式的逆用、余弦二倍角公式及角的变换，属于常考题.

11．设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件求出和，然后结合向量的数量积的运算即可求出结果.

【详解】因为，

所以，即，

结合正弦定理得，即，

所以，所以，

因为的面积为，所以，即，所以，

故选：A.

12．已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得，再由向量数量积的定义表示，根据二次函数的性质求得其最值，再由向量夹角公式可得选项.

【详解】因为在中，，，所以，所以

，当且仅当时取等号，因此在中，
 

所以向量与的夹角的余弦值为，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据已知向量建立关于向量的模的二次函数，利用二次函数确定取得最值时，的值.

二、多选题

13．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题错误的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则且 D．若，，则

【答案】ABC

【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系的相关命题依次判断各个选项即可得到结论.

【详解】对于A，若，，此时可能平行或异面，A错误；

对于B，若，，则可能平行或相交，B错误；

对于C，若，，则可能在或内，也可能与两平面平行，C错误；

对于D，若，，由垂直于同一条直线的两平面平行可知，D正确.

故选：ABC.

14．已知向量，则（    ）

A． B．向量在向量上的投影向量是

C． D．与向量方向相同的单位向量是

【答案】ACD

【分析】根据向量数量积的坐标运算可判断A；利用向量数量积的几何意义可判断B；利用向量模的坐标表示可判断C；根据向量方向相同的单位向量可判断D.

【详解】由向量

A，，所以，所以，故A正确；

B，向量在向量上的投影向量为，故B错误；

C，，所以，故C正确；

D，与向量方向相同的单位向量，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

15．已知是虚数单位，复数满足，则__________．

【答案】

【分析】利用复数除法求得.

【详解】.

故答案为：.

16．已知，，则的值为_______．

【答案】3

【分析】由两角和差的正弦公式，即可得出结果.

【详解】由题可得

所以

故答案为：3

17．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为__海里．

【答案】

【分析】先利用正弦定理求解、，再利用余弦定理求出．

【详解】由题意知，，，，，

在中，由正弦定理得，，

在中，，所以，为等腰直角三角形，则，

在中，由余弦定理可得（海里）.

故答案为：．

【点睛】方法点睛：三角形中与距离有关的问题的求解策略：

（1）解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解；

（2）解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.s

18．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________.

【答案】

【分析】求出等边的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可.

【详解】为等边三角形且其面积为，则，

如图所示，设点M为的重心，E为AC中点，

当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，

点M为三角形ABC的重心，，

中，有，，

所以三棱锥体积的最大值

故答案为：

【点睛】思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要底面，再利用内接球，求出高，即可求出体积的最大值，考查学生的空间想象能力与数形结合思想，及运算能力，属于中档题.

四、解答题

19．已知平面向量.

(1)若,求x的值;

(2)若,求与的夹角的余弦值.

【答案】(1).(2)

【分析】(1)利用向量平行的坐标表示，列方程求解；

(2) 根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值.

【详解】(1)平面向量，

若,则，

解得；

(2)若,则，

即,解得，

∴，

∴与的夹角的余弦值为.

【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.

20．已知函数

（1）求函数的对称轴方程；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当，求的值域．

【答案】（1）对称轴方程为x，k∈Z．（2）

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f（x）的对称轴方程．(2)由平移变化得的解析式，再利用整体换元法求值域

【详解】（1）∵函数f（x）＝2sinxcosx+2sin（x）cos（x）

＝sin2xsin（2x）＝sin2xcos2x＝2sin（2x），

∴令2xkπ，求得x，k∈Z，故函数f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．

（2）

令则，故的值域为

21．如图，直三棱柱中，平面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，为棱的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接，根据点，，O为中点，得到，，再利用面面平行的的判定定理证明平面平面即可.

（2）取的中点，连接，由是等边三角形，且平面平面，得到平面，然后再利用等体积法由求解.

【详解】（1）如图，连接，

因为点为棱的中点，点为棱的中点，

所以是的中位线，故.

又，所以.

又平面，平面，

所以平面

同理是的中位线，故.

平面，平面，

所以平面

又因为，

所以平面平面.

又平面，

所以平面.

（2）取的中点，连接.

因为是等边三角形，

所以.

又平面平面，平面平面，

所以平面.

又，，

则由等体积法知三棱锥的体积

.

【点睛】方法点睛：证明两个平面平行的方法有：（1）用定义，此类题目常用反证法来完成证明；（2）用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；（4）借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

22．如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设、分别为、的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的侧面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积.

【详解】（1）∵、分别为、的中点，∴，

又平面，平面，∴平面，

在中，，，∴，

又，∴，

∵平面，平面，∴平面，

又，∴平面平面，

（2）∵平面，平面，平面，

由（1）可知，∴、，

∵，，，，

∴，，，

由（1）可知，

在中，，

∴，

又，

在中，，∴边上的高，

∴，

∴三棱锥的侧面积.

【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.

23．在中，内角的对边分别为．

（1）求角的大小；

（2）设点是的中点，若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，再结合三角恒等变换的公式，求得的值，即可求得角的大小；

（2）延长到，满足，连接，在中，由余弦定理化简整理得到，结合基本不等式，求得，再由三角形的性质，即可求得的取值范围.

【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，

又由，可得，

即，即，可得，

又因为，所以．

（2）如图，延长到，满足，连接，

则为平行四边形，且，

在中，由余弦定理得，

即，可得，即，

由基本不等式得：，即，

即，可得，（当且仅当取等号号）

又由，即，

故的取值范围是 .

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，以及基本不等式求最值的综合应用，其中解答中熟练应用正弦定理、余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．