18.1 平行四边形（课时4）同步练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册

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《18.1　平行四边形》同步练习（课时4  平行四边形的判定(2)）一、基础巩固知识点1   一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1. [2022河北中考]依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 (　　)2. [2022上海师大附中期中]点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD,②AB=CD,③BC∥AD,④BC=AD这四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的有 (　　)A.2种 B.3种 C.4种 D.5种3. [2022内江中考]如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.求证:(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形AECF是平行四边形.       知识点2  平行四边形的性质与判定的综合4. [2022无锡中考]如图,在▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,EF过点O且分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.求证:(1)△DOF≌△BOE;(2)DE=BF.       5. [2022贵港期末]如图,在▱ABCD中,连接AC,过点B作BM⊥AC,垂足为E,交CD于点M,过点D作DN⊥AC,垂足为F,交AB于点N.(1)求证:四边形BMDN是平行四边形.(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.        二、能力提升1. [2021潍坊期末]如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是 (　　)A.AD=BC  B.CD=BFC.∠A=∠C D.∠F=∠CDF2. [2021河北中考]如图1,▱ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案 (　　)A.甲、乙、丙都是  B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是  D.只有乙、丙才是3. [2022上海青浦区期中]如图,平行四边形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P在AD边上,以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止).设运动时间为t(t>0)s,当t=　　　　时,以P,D,Q,B四点组成的四边形为平行四边形. 4. [2021泰州中学附中调研]如图,在四边形ABCD中,点E在BC边上,△ABC≌△EAD.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.(2)若AE平分∠DAB,∠EDC=30°,求∠AED的度数.      5. [2022北京海淀区期中]如图,在▱ABCD中,F是CD的中点,延长AB到点E,使BE=AB,连接BF,CE.(1)求证:四边形BECF是平行四边形.(2)若AB=6,AD=4,∠A=60°,求CE的长.      6. [2022汉中期末]如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外部),连接AE,CE,CF,AF.(1)若DE=OD,BF=OB.①求证:四边形AFCE是平行四边形.②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.(2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由;若DE=OD,BF=OB呢?请直接写出结论.     7. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F.(1)求证:OE=OF.(2)连接BE,DF,求证:四边形BEDF是平行四边形.(3)若AB=6 cm,AC=8 cm,∠BAC=90°.①CD=　　　　 cm,AD=　　　　 cm; ②AD与BC之间的距离为　　　　 cm. (4)若AB=AC,∠BAC=90°,则∠ADC的度数为　　　　,∠BCD的度数为　　　　.(5)若四边形CDEF的周长是12 cm,且OE =1.5 cm,则平行四边形ABCD的周长为　　　cm.(6)平行四边形ABCD可以被两条对角线分成　　　　对全等三角形.(7)连接BE,DF,若四边形BEDF是平行四边形,BD=12 cm,点M在线段BO上从点B出发以1 cm/s的速度向点O运动,点N在线段OD上从点O出发以2 cm/s的速度向点D运动.连接EM,FM,EN,FN,若点M,N同时出发,设运动时间为t s,则当t=　　　　时,四边形EMFN为平行四边形.    参考答案一、基础巩固1. D　逐项分析如下.选项分析是否符合题意A可判定上下两边平行,左右两边不平行,故不是平行四边形.否B只能判定左右两边平行,故不一定是平行四边形.否C只能判定左右两边相等,故不一定是平行四边形.否D上下两边既平行又相等,故是平行四边形.是2. C　根据平行四边形的判定方法,可知符合条件的有4种,分别是①②,③④,①③,②④.3. 证明:(1)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB=CD,AB∥CD,所以∠ABD=∠CDB.在△ABE和△CDF中,所以△ABE≌△CDF.(2) 解法一　由(1)可知,△ABE≌△CDF,所以AE=CF,∠AEB=∠CFD,所以180°-∠AEB=180°- ∠CFD,即∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF,因为AE=CF,AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形.解法二　由(1)可知,△ABE≌△CDF,所以AE=CF,同(1)可得,△ADF≌△CBE,所以AF=CE,因为AE=CF,AF=CE,所以四边形AECF是平行四边形.4. 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF.在△DOF和△BOE中,∴△DOF≌△BOE.(2)∵△DOF≌△BOE,∴FO=EO,又OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形,∴DE=BF.5. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴BM∥DN,∴四边形BMDN是平行四边形.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠CAB=∠DCA.由(1)知四边形BMDN是平行四边形,∴DM=BN,∴AN=CM.∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴∠AFN=∠CEM=90°,∴△AFN≌△CEM,∴FN=EM=5,在Rt△AFN中,由勾股定理得AN==13.二、能力提升1. D　当∠F=∠CDF时,AB∥CD.∵E是BC边的中点,∴CE=BE,又∠F=∠CDF,∠DEC=∠FEB,∴△CDE≌△BFE,∴CD=BF,又AB=BF,∴CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形.2. A　对于甲方案,连接AC,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AC经过BD的中点O,且AO=CO,又BO=DO,BN=NO,OM=MD,所以NO=OM,所以四边形ANCM是平行四边形;对于乙方案,易证△ABN≌△CDM,所以AN=CM. 因为AN⊥BD,CM⊥BD,所以AN∥CM,所以四边形ANCM是平行四边形;对于丙方案,易证△BAN≌△DCM,所以AN=CM,∠ANB=∠CMD,所以∠ANM=∠CMN,所以AN∥CM,所以四边形ANCM是平行四边形.综上可知,甲、乙、丙三种方案都是正确的. 3. 4.8或8或9.6　要使以P,D,Q,B四点组成的四边形为平行四边形,则BQ=DP,由题意可知0<t≤12,DP=12-t,分情况讨论如下:①若点Q的运动路线是C—B,则BQ=12-4t,则12-4t=12-t,解得t=0,不符合题意;②若点Q的运动路线是C—B—C,则BQ=4t-12,则4t-12=12-t,解得t=4.8;③若点Q的运动路线是C—B—C—B,则BQ=12-(4t-24),则12-(4t-24)=12-t,解得t=8;④若点Q的运动路线是C—B—C—B—C,则BQ=4t-36,则4t-36=12-t,解得t=9.6.综上所述,当t=4.8或8或9.6时,以P,D,Q,B四点组成的四边形为平行四边形.4. (1)证明:∵△ABC≌△EAD,∴BC=AD,∠B=∠EAD,AB=EA,∴∠B=∠AEB,∴∠EAD=∠AEB,∴BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B.∵AE平分∠DAB,∴∠BAE=∠EAD,∴∠B=∠AEB=∠BAE,∴△ABE是等边三角形,∴∠ADC=∠B=∠BAE=∠EAD=60°,∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°-30°=30°,∴∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-60°-30°=90°.5. (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,且AB=CD,因为F是CD的中点,所以CF=CD.又BE=AB, 所以 CF=BE.又CF∥BE,所以四边形BECF是平行四边形.(2)解:如图,过点C作CH⊥BE于点H.在平行四边形ABCD中,AD∥BC,CD=AB=6,CB=AD=4,所以∠CBE=∠A=60°.在Rt△BCH中,∠BCH=90°-∠CBE=30°,所以BH=CB=2,所以CH==2,由(1)可知,四边形BECF是平行四边形,所以BE=CF=CD=3,则EH=BE-BH=3-2=1,在Rt△CHE中,根据勾股定理得CE==.6. (1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵DE=OD,BF=OB,∴DE=BF,∴OD+DE=OB+BF,即OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形.②解:在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,∴∠DCA=∠DAC,∴AD=CD.∵OA=OC,∴OE⊥AC,∴OE垂直平分AC,∴AE=CE.∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形,∴AE=CE=AC=2OA=10,∴四边形AECF的周长为2(AE+CE)=40.(2)解:当DE=OD,BF=OB时,四边形AFCE是平行四边形.理由如下:∵DE=OD,BF=OB,OD=OB,∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE.又OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.当DE=OD,BF=OB时,四边形AFCE是平行四边形.7. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,OA=OC,OB=OD,AD∥BC,CD=AB, AD=BC.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO.在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF.(2)证明:解法一　如图1,由(1)得△AEO≌△CFO,∴AE=CF,∵AD=BC,∴DE=BF,又DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.解法二　如图1,由(1)得△AEO≌△CFO,∴EO=FO,又OB=OD,∴四边形BEDF是平行四边形.v(3)解:①6　10;②4.8②解法提示:由①得BC=10 cm,设AD与BC之间的距离为x cm,则AB×AC=BC×x,即6×8=10x,解得x=4.8,∴AD与BC之间的距离为4.8 cm.(4)解:45°　135°解法提示:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ADC=∠ABC=45°.∵AD∥CB,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-45°=135°.(5)解:18解法提示:由(1)知,△AEO≌△CFO,∴OF=OE=1.5 cm,CF=AE,∴EF=3 cm.∵四边形CDEF的周长是12 cm,所以FC+EF+ED+CD=12 cm,∴FC+ED+CD=9 cm,即AD+CD=9 cm,∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=2×9=18(cm).(6)解:4解法提示:两条对角线分成的全等三角形分别是△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABD≌△CDB,△ABC≌△CDA.(7)解:2解法提示:如图2,由题意可得BM=t cm,ON=2t cm.若四边形EMFN为平行四边形,则OM=ON. ∵四边形BEDF为平行四边形,∴OE=OF,OB=OD=BD=6 cm,∴OM=(6-t)cm,∴6-t=2t,解得t=2,故当t=2时,四边形EMFN是平行四边形.