18.1 平行四边形（课时2）同步练习 2022-2023学年人教版数学八年级下册

《18.1　平行四边形》同步练习

（课时2   平行四边形对角线的性质）

一、基础巩固

知识点1  平行四边形对角线的性质

1. [2021遵义中考]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (　　)

A.OB=OD  B.AB=BC

C.AC⊥BD D.∠ABD=∠CBD

2. [2022北京东城区质检]如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长是 (　　)

A.12 B.9  C.8  D.6

3. [2022赣州章贡区期末]如图,在平行四边形ABCD中,AC⊥BC,AD=AC=2,则BD的长为　　　　.

4. [2022福州十九中期中]如图,已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A,E,F,C在同一条直线上.

求证:AE=CF.

知识点2  平行四边形性质的综合运用

5. [2022重庆沙坪坝区期末]如图,点O为平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,下列结论一定正确的是 (　　)

A.OA=OB  B.∠DEO=∠CFO

C.CD=OD  D.AE=CF

6. 教材P44例2变式如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若DO=1.5,AB=5,BC=4,求▱ABCD的面积.

7. [2022陕西师大附中期末]如图,在▱ABCD中,E为DC上一点,DE=CE,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.若AB=2BC,∠F=35°,求∠D的度数.

二、能力提升

1. [2022上海奉贤区期中]如图,在平行四边形ABCD中,EF过对角线AC,BD的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3,则四边形EFDC的周长是 (　　)

A.14 B.11 C.17 D.10

2. [2022扬州树人学校调研]如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为15,则平行四边形ABCD的周长为　　　　.

3. [2022丹东期末]如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF和GH过点O,且点E,H在边DC上,点G,F在边AB上,若▱ABCD的面积为10,则阴影部分的面积为　　　　. 

4. [2020重庆中考A卷]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AC平分∠DAE.

(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;

(2)求证:AE=CF.

5. 探究:如图1,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F.

(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.

(2)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份?试说明理由.

应用:张大爷家有一块平行四边形菜园,园中有一口水井P,如图2,张大爷计划把菜园平均分成两块,分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.

参考答案

一、基础巩固

1. A　∵平行四边形的对角线互相平分,∴OB=OD,故A正确.

2. D　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AC+BD=16,∴OC+OB=8.∵△BCO的周长为14,∴OC+OB+BC=14,∴BC=6.

3. 2　设AC与BD的交点为O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,AO=CO=1,BO=DO,∵AC⊥BC,∴BO==,∴BD=2.

4. 证明:解法一　连接BD,交AC于点O,

因为四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形,所以OA=OC,OE=OF,

所以OA-OE=OC-OF,所以AE=CF.

解法二　因为四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,

所以AB∥CD,BE=DF,BE∥DF,

所以∠BAE=∠DCF,∠BEF=∠DFE,所以∠AEB=∠CFD.

在△ABE和△CDF中,

所以△ABE≌△CDF,所以AE=CF.

5. D　因为平行四边形ABCD对角线AC,BD交于点O,所以OA=OC,OB=OD,AD∥BC,CD=AB,所以∠EAO=∠FCO,∠DEO=∠BFO.在△AOE和△COF中,所以△AOE≌△COF,所以AE=CF,∠AEO=∠CFO,所以选项D一定成立,选项A,B,C不一定成立.

6. 解:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC=4,BD=2DO=3,

又AB=5,∴AD2+BD2=AB2,

∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,

∴▱ABCD的面积为AD×BD=4×3=12.

7. 解:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC,∠B=∠D,

∴∠D=∠ECF.

在△ADE和△FCE中,

∴△ADE≌△FCE,∴AD=FC,

∵AD=BC,∴FC=BC,即FB=2BC,

又AB=2BC,∴AB=FB,

∴∠BAF=∠F=35°,

∴∠B=180°-2×35°=110°,∴∠D=110°.

二、能力提升

1. C　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AD∥BC,AB=CD=4,∴∠OBE=∠ODF,在△BOE和△DOF中,∴△BOE≌△DOF,∴BE=DF,OF=OE=3,∴CE+DF=CE+BE=BC=7,

∴四边形EFDC的周长为DF+EF+CE+CD=BC+OE+OF+CD=7+3+3+4=17.

2. 30　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC.∵OE⊥BD,∴BE=DE.

∵△CDE的周长为15,∴CD+DE+EC=15,∴CD+BC=15,∴平行四边形ABCD的周长为2(CD+BC)=30.

3. 　∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD,CD∥AB,∴∠ODE=∠OBF.在△DOE和△BOF中,∴△DOE≌△BOF,∴S△DOE=S△BOF.同理可得,S△COH=S△AOG,∴S阴影=S△AOB=S▱ABCD=.

4. (1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,

∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°,

∵AC平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°.

(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,

∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°,

∵∠AOE=∠COF,

∴△AEO≌△CFO,∴AE=CF.

5. 探究:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.

在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.

同理可证△DOE≌△BOF,∴DE=BF,

又AB=DC,

∴AE+EF+BF+AB=CF+EF+DE+DC.

即四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.

(2)解:是.理由如下:

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AB∥CD,∴∠OAB=∠OCD.

在△AOB和△COD中,

∴△AOB≌△COD,∴S△AOB=S△COD.

由(1)可知△AOE≌△COF,△DOE≌△BOF,

∴S△AOE=S△COF,S△DOE=S△BOF,

∴S△AOE+S△AOB+S△BOF=S△COF+S△COD+S△DOE,

即直线EF将▱ABCD的面积分成二等份.

应用:解:连接AC,BD交于点O,作直线OP,则直线OP两侧的四边形面积相等.