2023年安徽省合肥市瑶海区众望初级中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省合肥市瑶海区众望初级中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，，中，负数的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  中国的太空空间站离地球大约米，则近似数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在，，，，这组数据中，去掉一个数后，余下的数据的中位数不变，且方差变小，则去掉的数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于处两块三角板可以在同一平面内自由转动，则下列结论一定成立的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

7.  如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接若的半径为，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九年级同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(    )

A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率
B. 掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率
C. 将一副新的扑克牌张洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率
D. 从装有个红球和个白球个球除颜色外均相同的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率

9.  设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 着，则

10.  如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式的解集是______．

12.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        ．

13.  如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接若，，则的值是______ ．

14.  已知二次函数，
当时，二次函数的最大值为______ ．
当时，二次函数的最大值为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，已知的顶点分别为，，．
作出关于轴对称的图形．
点在轴上运动，当的值最小时，直接写出点的坐标．
求的面积．

17.  本小题分
观察下列算式：
；
；
；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个算式：______ ；
根据这个规律写出你猜想的第个算式用含的式子表示，并证明．

18.  本小题分
如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度由于场地有限，不便测量，所以小华从点处滑坡度为：的斜坡步行米到达点处，测得广告牌底部的仰角为，广告牌顶部的仰角为，小华的身高忽略不计，已知广告牌米参考数据：，，
求处距离水平地面的高度；
求建筑物的高度．

19.  本小题分
如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，．
求证：为的切线；
若的半径为，，求的长．

20.  本小题分
喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初二年级开展了汉字听写大赛活动现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表示分，表示分，表示分，表示分，表示分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值，请结合图中提供的信息，解答下列各题：

直接写出的值，        ，并把频数分布直方图补充完整；
求扇形的圆心角的度数；
如果全年级有名学生参加这次活动，分以上为优秀，那么估计获得优秀的学生有多少人．

21.  本小题分
将矩形沿折叠，使点落在点处，折痕为，其中，．

如图，若点恰好在边上，连接，求证：∽；
如图，若是的中点，的延长线交于点，求的长．

22.  本小题分
某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第天与该天销售量件之间满足函数关系式为：且为整数，为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价元与第天成一次函数关系，当时，，当时，已知该头盔进价为元件．
求与之间的函数关系式；
求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
在实际销售的前天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价元销售，通过销售记录发现，前天中，每天的利润随时间天的增大而增大，试求的取值范围．

23.  本小题分
【初步体验】如图，正方形中，点，分别是、边上，且于点，求证：．
【思考探究】如图，在的条件下，连接并延长交于点，若点为边中点，求证：．
【灵活运用】如图，在的条件下，连接并延长交的延长线于点，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以负数有，，共个．
故选：．
根据相反数、绝对值的概念将相关数值化简，再根据负数的定义即可作出判断．
本题考查了正数和负数，相反数和绝对值，解题的关键是注意：判断一个数是正数还是负数，要先把它化简后再判断；既不是正数也不是负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是中心有一点的圆，因此不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此不符合题意；
正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；
三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此不符合题意；
故选：．
根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用零指数幂，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：去掉一个数后中位数不变，
去掉的数字应该是或，
原来个数据的平均数为：，
所以，方差为：，
当去掉时，平均数为，
所以，方差为：，
当去掉时，平均数为，
所以，方差为：，
应该去掉．
故选：．
根据方差和中位数的定义利用排除的方法确定正确的选项即可．
考查了方差及中位数的知识，解题的关键是了解方差的计算公式，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是余角和补角的概念、角的计算，掌握余角和补角的概念、正确根据图形进行角的计算是解题的关键．根据余角的定义、结合图形计算即可．
【解答】
解：因为是直角三角板，
所以，
所以，
即，不成立；
的值不固定，不成立；
因为是直角三角板，
所以，
所以，
即，成立；
与的大小不确定，不成立；
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作，作于，则点是的中点，

直线与相切于点，，
，，在同一条直线上，且，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
阴影部分的面积为，
故选：．
如图所示，过点作，作于，可得，，结合图形可求出扇形的面积，的面积，由此即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面积的计算方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛一枚硬币，正面朝上的概率是，故选项不符合题意；
B.掷一枚正方体的骰子，出现点数是的倍数的概率为，即频率在附近波动，故选项符合题意；
C.将一副新的扑克牌张洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“”的概率为，故选项不符合题意；
D.从装有个红球和个白球个球除颜色外均相同的不透明口袋中，任取一个球恰好是白球的概率为，故选项不符合题意．
故选：．
求出各选项的概率，与统计图比较即可得到结论．
此题考查了频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，若，则，

故A选项错误；
如图所示，若，则或，

故B选项错误；
如图所示，若，则，

故C选项正确，选项错误；
故选：．
根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，以为斜边，作等腰直角，过点作交延长线于，连接，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆周上运动右侧，
当点在线段上时，最大，
是以为边的等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，
的最小值，
故选：．

如图所示，以为斜边，作等腰直角，过点作交延长线于，连接，则，，先证明点在以为圆心，为半径的圆周上运动右侧，故当点在线段上时，最大，再求出，的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

12.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且，
解得：，且．
故答案为：且．
由一元二次方程有实数根，则，即，且，然后解两个不等式得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
，
，
过点作轴，交轴于点，

则：，
，
，
，
，
；
故答案为：．
先求出点坐标，利用，求出点横坐标，过点作轴，交轴于点，再利用，求出点纵坐标，即可求出值．
本题考查已知图形面积求值，正确的求出一次函数与坐标轴的交点，利用三角形的面积和锐角三角函数值求出点的坐标是解题的关键．
 

14.【答案】  或 

【解析】解：将代入，
得：，
当时，函数有最大值，
故答案为：；
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，即时，
，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，有最大值为，
，
解得：；
当时，即时，
当时，有最大值为，
，
解得：，
，
不合题意，舍去，
当时，即时，
，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，有最大值为，
，
解得：，
综上所述，的值为或．
将代入，再根据二次函数的性质求解即可；
先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：当时，当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可．
本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据计算有理数的乘方，立方根，二次根式的性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可．
本题考查了实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图，即为所求．
作点关于轴对称点，连接，与轴相交于点，点即为所求；设直线的函数解析式为：，
把，代入得，
解得：
直线的函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
．
． 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标特征得到，，的坐标，然后描点连线即可；
作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，点即为所求；求出直线的函数解析式，然后可求出点的坐标；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点也考查了待定系数法求一次函数解析式，利用网格求三角形的面积等知识．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
第个算式为：；
第个算式为：．
证明：


．
根据规律进行计算即可求解；
根据单项式乘以单项式，完全平方公式进行计算即可得出结论．
本题考查了数字类规律，单项式乘以单项式，完全平方公式，找到规律是解题的关键．
 

18.【答案】解：过点作于，

，
设，，
，
从点处滑坡度为的斜坡步行米到达点处，
，
，
．
解：过点作于，

，
四边形为矩形，
，
，
，
，
设，
，
在中，，，
，
，即，
． 

【解析】过点作于，根据坡比设，，用勾股定理求得，求解得出即可．
过点作于，先证四边形为矩形，得，在利用三角形函数解可得的长，从而得解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角与坡比问题，熟练掌握仰角与坡比的定义，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：连接，如图，
，
，
为的直径，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
为的切线；
解：连接，
≌
，
的半径为，
，
，
，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，如图，利用圆周角定理得到，则可判断为的直径，再根据判断≌，根据全等的性质证得，等量代换证得，从而得到证得结论；
连接，先确定为等边三角形，然后计算，根据弧长的计算公式求出弧长即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理以及弧长的计算，解题的关键是熟记相关的定理以及公式．
 

20.【答案】 

【解析】解：样本容量为，，即，
组人数为人，
补全图形如下：

故答案为：；
扇形的圆心角度数为，
人．
答：估计获得优秀的学生有人．
用组人数除以扇形图中组圆心角度数占周角的比例可得总人数，根据百分比的概念可得的值；总人数减去其它四个小组人数求出组人数，从而补全图形；
用乘以等级人数所占比例可得；
用总人数乘以样本中等级人数所占比例．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，
由翻折可知，，
，
，
∽；
解：如图中，过点作交于，交于，

四边形是矩形，设，
，，
，，
∽，
，
，，
在中，，
，解得舍去，，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】根据矩形，可得，根据折叠可知，即，由此即可求解；
根据题意可证，∽，再证∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查矩形，折叠，相似三角形的综合，掌握矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，设，当时，，当时，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
设总利润为元，则，
当时，取得最大值，
第天利润最大，最大值为：元；
由题意可设第天的销售利润为元，则，
对称轴为，
又知前天中，每天的利润随时间天的增大而增大，
，
即，
又，
． 

【解析】根据待定系数法即可求解；
根据题意，设总利润为元，可得出总利润与第天的函数关系，根据二次函数顶点式即可求解；
根据数量关系，二次函数图象的性质即可求解．
本题主要考查销售问题，理解题目中数量关系，二次函数图象的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
≌，
．
证明：如图，

点为中点，
，
，，
，
，
又，
，
，
而，
，
，
又，
∽
，
，
即；
解：如图，

设，，则，
≌，
，则，
由中得，
解得负值舍去，
，
、、、四点共圆，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，
． 

【解析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质证明≌即可；
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再证明∽得到即可；
设，，根据中结论求得，再证明、、、四点共圆，利用圆周角定理和平行线的性质证得，利用等腰三角形的判定和性质证得，进而求得即可求解．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形和相似三角形的性质探究边角间的关系是解答的关键．