人教版九年级数学二次函数最值专训（后附详细答案） 试卷

这是一份人教版九年级数学二次函数最值专训（后附详细答案），共11页。
 一、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.  本小题分
如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点．
求该抛物线所对应的函数解析式；
设四边形的面积为，求的最大值．
 







 2.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的正半轴分别交于点，．

当时，求抛物线相应的函数表达式；
当时，如图，是线段上的一动点，过点作平行于轴的直线与抛物线的交点为求面积的最大值．






 3.  本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．

求抛物线的解析式；
点为抛物线与轴的交点；
点在抛物线上，且，求点点坐标；
设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．






 4.  本小题分如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交抛物线于点若直线与轴交于点，点是对称轴上的动点，点是轴上的动点，当四边形的周长最小时，求出周长的最小值和点、的坐标．






 5.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．







 6.  本小题分
如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与轴交于点．

求该抛物线和直线的解析式；
设抛物线与直线相交于点，求的面积；
在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．


 【答案】1. 解：，，，
设抛物线表达式为：，
将代入得：，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
如图，连接，

设点坐标为，，
，，，
可得：，，，
，
即当时，最大，最大值为． 2. 解：当时，将点代入抛物线中，得，
；
如图中，直线与交于点．
 
当时，二次函数解析式
求得，，可得所在的一次函数表达式为，
，
 ，直线与的交点为，
，
，
当时，有最大值． 3. 解：抛物线的对称轴为直线，
又点与在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为
由知，二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，与轴的另一交点为，
则，，
设点坐标为，
，
，
，
则，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；

设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设点坐标为，，
则点坐标为，
，
当时，线段的长度有最大值． 4. 解：在上，
，

，
直线的解析式为：，
，
，
点与点关于直线对称，
作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，连接、，此时四边形的周长最小，
四边形的周长最小值，
直线的解析式为：，
、，
即四边形的周长最小值为，点、． 5. 解：点在抛物线上，
，
抛物线解析式，
抛物线，
顶点的坐标．
对于，
当时，，
，
当时，，解得：，，
，
由抛物线的性质可知：点和是对称点，
连接交函数的对称轴于点，此时为最小值，而的长度是常数，故此时的周长最小，

设直线的表达式为，
则，解得，
故直线的表达式为，
当时，，故点． 6. 解：将、代入抛物线解析式得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：，
其对称轴为：直线，
故点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、点的坐标代入可得：，
解得：，
故直线的解析式为；
联立直线与抛物线的解析式：，
解得：或，
故点的坐标为，
则．
存在点，使得的周长最小；
点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，则与对称轴的交点即是点的位置：

坐标为，，
设直线的解析式为：，代入两点坐标可得：，
解得：，
即直线的解析式为，
故点的坐标为．
，
即存在点的坐标时，使得的周长最小，最小周长为． 【解析】1. 本题考查了二次函数的最值，三角形面积公式，以及待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来．
设二次函数表达式为，再将点代入，求出值即可；
连接，设点坐标为，，利用得出关于的表达式，再求最值即可．2. 本题考查待定系数法求二次函数解析式，当时，可得点，将点代入抛物线中可得，进而得到；
本题考查二次函数的应用和二次函数的最值，根据解析式可得，，进而求得直线的解析式，因为，可得 和，进而得到的长度，列出，求出最值．3. 本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质和二次函数的最值，以及三角形面积．
因为抛物线的对称轴为直线，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
先由二次函数的解析式为，得到，点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；
先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值．4. 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、轴对称最短路线问题以及勾股定理等知识点；
先根据二次函数解析式求出的值，然后求出直线的解析式，即可得到点与点关于直线对称，作点关于轴的对称点，连接交于点，交轴于点，连接、，此时四边形的周长最小，利用勾股求出最小值，即可得到点、的坐标．5. 把的坐标代入函数的解析式，即可求得的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；
直线与抛物线的对称轴的交点就是使取得最小值的的点，的长就是最小值．
本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线与抛物线的对称轴的交点就是使取得最小值的的点，是本题解题的关键．6. 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，及利用轴对称求最短路径的问题，解答第二问需要我们将要求的图形的面积分割，第三问的关键是利用轴对称的性质得出点的位置，难度较大．
将点、点的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式．
求出点的坐标，然后根据进行计算，即可得出答案．
长度固定，只需满足最小即可，找点关于对称轴的对称点，连接，则与对称轴的交点即是点的位置，求出其坐标及周长即可．