高中数学新教材必修第二册课件PPT 第8章 §8.3 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

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高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积第八章　 §8.3　简单几何体的表面积与体积1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用 计算公式求几何体的表面积与体积.学习目标在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？导语随堂演练课时对点练一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积二、棱柱、棱锥、棱台的体积三、简单组合体的表面积与体积内容索引一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、棱台的展开图是什么样子的？提示　多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和.例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.解　如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，反思感悟　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，二、棱柱、棱锥、棱台的体积底面积高底面积高上、下底面面积高解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为√(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.∴EE1＝13 cm.在直角梯形EOO1E1中，反思感悟　求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为_____.三、简单组合体的表面积与体积例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因为A1B1＝AB＝6 m，故仓库的容积是312 m3.反思感悟　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.跟踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.2.方法归纳：等体积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.课堂小结随堂演练1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3 D.125 cm3√1234解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).解析　令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的√1234√12344.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.1234课时对点练1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为√基础巩固123456789101112131415162.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是√123456789101112131415163.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为√123456789101112131415164.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是√12345678910111213141516所以这个棱柱的表面积为2×3×3＋4×5×3＝78.√123456789101112131415166.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26√解析　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.12345678910111213141516√7.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为___.1123456789101112131415168.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为______ cm2.1 012123456789101112131415169.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.12345678910111213141516解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，12345678910111213141516∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.10.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；12345678910111213141516解　由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.12345678910111213141516解　如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.11.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为√12345678910111213141516综合运用12.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是√解析　如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，1234567891011121314151613.如图，三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，A1－B1C1B，A1－C1BC的体积之比为A.1∶1∶1 B.2∶1∶1C.4∶2∶1 D.4∶1∶2√1234567891011121314151614.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为_____.12345678910111213141516解析　连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC(图略)，∵E，H分别为AD1，CD1的中点，12345678910111213141516∵F，G分别为B1A，B1C的中点，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，∴四边形EHGF为正方形.拓广探究1234567891011121314151615.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为_____.36∴该几何体的表面积为36.16.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD ，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？12345678910111213141516解　设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2，连接MD，因为M是AE的中点，12345678910111213141516而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，