初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数第1课时习题

第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质

知能演练提升

一、能力提升

1.下列关于抛物线y=-x2+2的说法正确的是(　　)

A.抛物线开口向上

B.顶点坐标为(-1,2)

C.在对称轴的右侧,y随x的增大而增大

D.抛物线与x轴有两个交点

2.若正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小,则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是(　　)

3.(2020·重庆九龙坡区校级期末)已知点(-9,y1),(4,y2),(-2,y3)都在抛物线y=ax2+m(a>0)上,则(　　)

A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2

C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3

4.若二次函数y=ax2+c当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为(　　)

A.a+c B.a-c C.-c D.c

5.若抛物线y=ax2+k(a≠0)与y=-2x2+4关于x轴对称,则a=　　　　　,k=　　　　　. 

6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为　　　　　. 

7.已知点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法:①若y1=y2,则x1=x2;②若x1=-x2,则y1=-y2;③若0<x1<x2,则y1>y2;④若x1<x2<0,则y1>y2,其中正确的是　　　　　.(填序号) 

8.已知函数y1=-x2,y2=-x2+3和y3=-x2-1,y4=-x2+6.

(1)分别画出它们的图象;

(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(3)试说明函数y2=-x2+3,y3=-x2-1,y4=-x2+6的图象分别由抛物线y1=-x2作怎样的平移才能得到?

9.已知直线y=2x与抛物线y=ax2+3相交于点(2,b).

(1)求a,b的值;

(2)若直线y=2x上纵坐标为2的点为A,抛物线y=ax2+3的顶点为B,求S△AOB.

★10.如图,二次函数y=-x2+c的图象经过点D,与x轴交于A,B两点.

(1)求c的值;

(2)设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点,直线AC将四边形ABCD的面积二等分,试证明线段BD被直线AC平分,并求此时直线AC的函数解析式.

二、创新应用

★11.明珠大剧场坐落在聊城东昌湖西岸,其上部为能够旋转的拱形钢结构,并且具有开启、闭合功能,如图①.舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分,其中舞台高度为1.15 m,台口高度为13.5 m,台口宽度为29 m,如图②.以ED所在直线为x轴,过拱顶点A且垂直于ED的直线为y轴,建立平面直角坐标系.

①

②

(1)求拱形抛物线的函数解析式;

(2)舞台大幕悬挂在长度为20 m的横梁MN上,其下沿恰与舞台面接触,求大幕的高度(精确到0.01 m).

知能演练·提升

一、能力提升

1.D　∵y=-x2+2,∴抛物线开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2),在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,∴A,B,C都不正确,D正确,故选D.

2.A　∵正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小,∴该正比例函数图象经过第二、第四象限,且m<0.

∴二次函数y=mx2+m的图象开口向下,且与y轴交于负半轴.

综上所述,符合题意的只有A选项.故选A.

3.C

4.D　因为抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴,再由抛物线的对称性知x1和x2互为相反数,所以x1+x2=0,把x=0代入y=ax2+c得y=c.故选D.

5.2　-4

6.6　在函数y=ax2+3中,当x=0时,y=3,故点A坐标为(0,3).

把y=3代入y=x2,解得x=±3,故点B坐标为(-3,3),点C坐标为(3,3),BC=6.

7.④　若y1=y2,则x1=x2或x1=-x2,所以①与②均错误;若0<x1<x2,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,则y1<y2,所以③错误;若x1<x2<0,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,则y1>y2,所以④是正确的.

8.解 (1)函数图象如下图,从上到下依次为函数y4=-x2+6,y2=-x2+3,y1=-x2,y3=-x2-1的图象.

(2)如下表:

(3)分别由抛物线y1=-x2向上平移3个单位长度、向下平移1个单位长度、向上平移6个单位长度得到.

9.解 (1)因为点(2,b)在直线y=2x上,所以b=4.

又因为点(2,b)即点(2,4)在抛物线y=ax2+3上,所以4a+3=4.所以a=.

(2)在y=2x中,令y=2,则x=1,所以A(1,2).

又因为抛物线y=x2+3的顶点B为(0,3),

所以S△AOB=OB·|xA|=×3×1=.

10.分析 (1)将点D的坐标代入二次函数解析式即可求出c的值;(2)要证明线段BD被直线AC平分,从“直线AC将四边形ABCD的面积二等分”来寻求解题思路,不难发现S△ABC=S△ADC.通过面积法可得公共边AC上的两条高相等,再通过全等可得线段BD被直线AC平分.

解 (1)因为抛物线经过点D,所以-×(-)2+c=.所以c=6.

(2)如图,过点D,B分别作直线AC的垂线,垂足分别为E,F,设AC与BD交于点M,

因为AC将四边形ABCD的面积二等分,即S△ABC=S△ADC,

所以DE=BF.

又因为∠DME=∠BMF,∠DEM=∠BFM,

所以△DEM≌△BFM.

所以DM=BM,

即AC平分BD.

因为c=6,所以抛物线的解析式为y=-x2+6.

所以A(-2,0),B(2,0).

因为M是BD的中点,

所以M.

设直线AC的解析式为y=kx+b,由直线AC经过点A,M,

可得

解得

所以直线AC的解析式为y=x+.

二、创新应用

11.解 (1)由题设可知,OA=13.5+1.15=14.65(m),OD=(m),则A(0,14.65),C.

设拱形抛物线的解析式为y=ax2+c,

则

解得a=-,c=14.65.

故所求函数的解析式为y=-x2+14.65.

(2)由MN=20 m,设点N的坐标为(10,y0),代入关系式,得y0=-×102+14.65≈8.229.

故y0-1.15=8.229-1.15=7.079≈7.08,

即大幕的高度约为7.08 m.