2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第27讲 圆锥曲线中定直线问题 Word版含解析

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第27讲  圆锥曲线中定直线问题【典型例题】【例1】（2022·重庆八中高三开学考试）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.  【例2】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.   【例3】（2022·山东聊城·三模）已知椭圆C：的离心率为，左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，M为C上一动点，面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)过的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点，），直线，相交于点Q，证明：点Q在一条平行于x轴的直线上.     【例4】（2022·全国·高三专题练习（文））已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2.(1)求C的标准方程；(2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上.  【例5】（2021·贵州六盘水·一模（理））已知椭圆的离心率为，短轴的下端点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上异于且不关于轴对称的两点，，的中点为，求证：点在定直线上运动.  【例6】（2020·浙江·浙鳌高级中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.（1）求，的值；（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点，时，在线段上取点，使得，问点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.  【例7】（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过的右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，．(1)求的方程．(2)若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是，请说明理由．  【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.   【例9】（2022·全国·高三专题练习）曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．（1）求的方程；（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．      【例10】（2022·全国·高二课时练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰是的中点，若过A，Q，三点的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．  【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 2．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．(1)求椭圆的标准方程，(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上． 3.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为F，，过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)若直线l的斜率为3，求的值．(2)过点M且与y轴垂直的直线交直线EN于点G，探究：点G是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．    4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为(1)求椭圆的方程；(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.     5．（2021·河北·藁城新冀明中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．    6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆经过点，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.   7．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．(1)求C的方程；(2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 8．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知椭圆（a>b>0）的离心率为，短轴的下端点A的坐标为（0，－1）.(1)求椭圆E的方程；(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC 的中点为G ，求证：点G在定直线上运动.  9．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，证明：直线，的交点在一定直线上，并求出该直线方程．   10．（2021·安徽宿州·三模（文））已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知圆上任意一点处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．  11．（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.