高中数学人教A版（2019）必修第一册5.1任意角和弧度制 同步练习（含解析）
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人教A版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制 同步练习 一、单选题1．已知第二象限角的终边上一点，则角的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“角小于”是“角是第一象限角”的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．下列选项中，满足的是（ ）A．， B．，C．， D．，4．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ）A．-56°与664° B．800°与-1360°C．150°与630° D．-150°与930°5．角和满足关系：，则角与的终边（ ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上答案都不对6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（ ）（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．半径为1cm，圆心角为的扇形的弧长为（ ）A． B． C． D．8．已知，则角的终边所在的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限9．如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（ ）A． B． C． D．10．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ）A． B． C． D．11．下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（ ）A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤12．设集合，集合，则（ ）A． B． C． D．二、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．14．已知角，则与α终边相同的最小正角是______．15．大于且终边与角重合的负角是________.16．已知扇形的周长为16，面积为16，则扇形的圆心角的弧度数为___________.三、解答题17．已知扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．18．一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.19．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．20．把下列各角化为的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．（1）；（2）；（3）．21．分别写出当角在四个象限时，角的所在象限．
参考答案：1．C 根据第二象限横纵坐标的正负值判断得再判断角的象限即可.【详解】因为点在第二象限，所以有所以是第三象限角.故选：C 本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.2．D 利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若角小于，取，此时，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此时，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D.3．C 先判断出，不满足；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出正确．【详解】解：对于选项，有，对于，有；对于，因为，所以满足，对于，因为，满足．故选：．4．C 利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解.【详解】因终边相同的两个角总是相差的整数倍，对于A，，即角-56°与664°终边相同，A不正确；对于B，，即角800°与-1360°终边相同，B不正确；对于C，，即角150°与630°终边不相同，C正确；对于D，，即角-150°与930°终边相同，D不正确，所以角150°与630°终边不相同.故选：C5．B 根据终边相同角的定义判断可得；【详解】解：因为角和满足关系：，因为与的终边关于轴对称，而与的终边相同，所以角与的终边关于y轴对称故选：B6．B 若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，根据定义逐项判断即可得出结论.【详解】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，正三角形的面积，则一个弓形面积，则整个区域的面积为，而圆的面积为，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B. 本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．7．D 利用扇形弧长公式直接计算即可.【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为.故选：D.8．C 利用终边相同的角的概念，对当k是奇数和偶数进行分类讨论，即可得解.【详解】由已知，，当时，，即角的终边在第一象限；当时，，即角的终边在第二象限．所以角的终边在第一或第二象限．故选：C9．C 求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．故选：C.10．B 把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算．【详解】．．故选：B．11．C ①取特殊角：与进行判断；②根据锐角的范围直接判断；③取负角进行否定；④取特殊角进行否定；⑤取特殊角进行否定．【详解】①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等；②锐角的范围为，必是第一象限角，正确；③小于的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角；⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误．其中错误的是①③④⑤．故选C． （1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.12．D 考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角， 四条射线分别是射线 ， 它们构成直线、直线，故. 故选：D. 本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.13． 先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数.【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周，所以转过的角的弧度数是.故答案为： 本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．140° 先求出与α终边相同角的集合，再通过解不等式进行求解即可.【详解】与终边相同的角的集合为，令，解得，故当时，满足条件．故答案为：140°15． 根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于且终边与角重合的负角是.故答案为： 本题考查终边相同的角，属于基础题.16．2 设扇形圆心角为，半径为，列方程组求出的值．【详解】解：由扇形的周长为，面积为，可设扇形圆心角为，且，半径为，则，解得 所以．故答案为：2．17．面积最大值为，此时圆心角弧度数为2 设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为，弧长为，则．（当且仅当时取等号）．最大值为25，此时，．故扇形圆心角的弧度数．所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2.18．弧度，最大面积 设扇形的半径为，得出弧长为，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为，其周长为，则扇形弧长为，且，扇形面积，当，时，取最大值为，所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为. 本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19．（1）；（2）；（3）． 将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】对图（1），可看作范围内的角，结合任意角概念，可表示为；对图（2），可看作范围内的角，结合任意角概念，可表示为；对图（3），可看作由的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为．20．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为． 利用与角终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.【详解】（1），它是第二象限角，终边相同的角的集合为．（2），它是第四象限角．终边相同的角的集合为．（3），而．所以是第四象限角，终边相同的角的集合为．21．答案见解析 由终边相同的角和象限角的定义进行判断即可【详解】（1）当角在第一象限时，即，则，当（）时，，则为第一象限的角，当（）时，，即，则角为第三象限的角，综上，角在第一或第三象限；（2）当角在第二象限时，即，则，当（）时，，则 为第一象限的角，当（）时，，即，则 为第三象限的角，综上，角在第一或第三象限；（3）当角在第三象限时，即，则，当（）时，，则为第二象限的角，当（）时，，即，则为第四象限的角，综上，角在第二或第四象限；（4）当角在第四象限时，即，则，当（）时，，则为第二象限的角，当（）时，，即 ，则在第二或第四象限，综上，角在第二或第四象限
