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新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.2 等差数列
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.2 等差数列，共60页。PPT课件主要包含了§62等差数列，落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为_______________________ .(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ .
an－an－1＝d(常数)(n≥2，
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.
ak＋al＝am＋an
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn， 为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.( )
1.已知等差数列{an}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{an}的公差为
设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又∵a2＝3，∴d＝－1.
2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝_____.
3.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝______.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
(2)(2022·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于A.13 B.14 C.15 D.16
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，S4＝24，则a9等于A.－5 B.－7C.－9 D.－11
∵a3＝5，S4＝24，∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴an＝11－2n，∴a9＝11－2×9＝－7.
∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是A.a1＝－2 B.a1＝2C.d＝4 D.d＝－4
(2)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝______.
设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列 是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
(2022·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝lg2(an＋1).(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
{bn}是等差数列，理由如下：b1＝lg2(a1＋1)＝lg22＝1，当n≥2时，bn－bn－1＝lg2(an＋1)－lg2(an－1＋1)
∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝ ＝2n，∴an＝2n－1.
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数.(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数).(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
跟踪训练2 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；
由题意可得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
命题点1 等差数列项的性质例3 (1)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于A.6 B.7C.8 D.9
因为2an＝an－1＋an＋1，所以{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＋a4＝3＋4＝7.
(2)(2022·宁波模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于A.225 B.250C.270 D.300
等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，
命题点2 等差数列前n项和的性质例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于A.110 B.150C.210 D.280
因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列.故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
1.若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3C.4 D.5
∵S15＝30，∴ (a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
∴S2 023＝2 023×2＝4 046.
(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).②S2n－1＝(2n－1)an.③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
跟踪训练3 (1)(2021·北京){an}和{bn}是两个等差数列，其中 (1≤k≤5)为常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3等于A.64 B.128 C.256 D.512
设等差数列{an}的公差为d，
KESHIJINGLIAN
1.(2022·芜湖模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为A.－2 B.2 C.－3 D.3
设公差为d，因为a3＋a9＝2a6＝30，
2.(2022·莆田模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为A.－3 B.3 C.－12 D.12
由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.
3.(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是
由题设知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.
4.(2022·山东省实验中学模拟)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为A.28 B.29C.30 D.31
设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.
5.(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，
6.(多选)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列结论正确的是A.公差d<0B.在所有小于0的Sn中，S17最大C.a8>a9D.满足Sn>0的n的个数为15
∵S8>S9，且S9＝S8＋a9，∴S8>S8＋a9，即a9<0，又S8>S7，S8＝S7＋a8，∴S7＋a8>S7，即a8>0，∴d＝a9－a8<0，故A，C中的结论正确；∵S9>S7，S9＝S7＋a8＋a9，∴S7＋a8＋a9>S7，即a8＋a9>0，又a1＋a16＝a8＋a9，
故B中的结论正确，D中的结论错误.
7.(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝___.
层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为_____.
8.(2022·铁岭模拟)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐
设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
解得n＝12(n＝－8舍去).故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于A.3 B.4 C.5 D.6
∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
解得m＝5，经检验为原方程的解.
12.(多选)(2022·济宁模拟)设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项正确的有A.a1>0，d<0B.a7＋a8>0C.S6与S7均为Sn的最大值D.a8<0
因为S14>0，S15<0，
所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值.
13.(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
方法一 (观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
方法二 (引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.
14.(2022·东莞模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d，前n项和为Sn.若Sn≤S8恒成立，则公差d的取值范围是___________.
根据等差数列{an}的前n项和Sn满足Sn≤S8恒成立，可知a8≥0且a9≤0，所以1＋7d≥0且1＋8d≤0，
15.定义向量列a1，a2，a3，…，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d为常向量，则称这个向量列{an}为等差向量列.这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}满足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，则向量列{an}的前n项和Sn＝___________.
因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a3＝a2＋a4＝(6,10)，解得a3＝(3,5)，
由等差数列的通项公式可得等差向量列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(1,1)＋(n－1)(1,2)＝(1,1)＋(n－1,2n－2)＝(1＋n－1,1＋2n－2)＝(n，2n－1)，
16.在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；
设数列{an}的公差为d，由题意得2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为_______________________ .(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ .
an－an－1＝d(常数)(n≥2，
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.
ak＋al＝am＋an
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn， 为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.( )
1.已知等差数列{an}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{an}的公差为
设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又∵a2＝3，∴d＝－1.
2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝_____.
3.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝______.
TANJIUHEXINTIXING
例1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
(2)(2022·内蒙古模拟)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于A.13 B.14 C.15 D.16
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，S4＝24，则a9等于A.－5 B.－7C.－9 D.－11
∵a3＝5，S4＝24，∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴an＝11－2n，∴a9＝11－2×9＝－7.
∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是A.a1＝－2 B.a1＝2C.d＝4 D.d＝－4
(2)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝______.
设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列 是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
(2022·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝lg2(an＋1).(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
{bn}是等差数列，理由如下：b1＝lg2(a1＋1)＝lg22＝1，当n≥2时，bn－bn－1＝lg2(an＋1)－lg2(an－1＋1)
∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝ ＝2n，∴an＝2n－1.
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数.(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数).(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
跟踪训练2 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；
由题意可得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
命题点1 等差数列项的性质例3 (1)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于A.6 B.7C.8 D.9
因为2an＝an－1＋an＋1，所以{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＋a4＝3＋4＝7.
(2)(2022·宁波模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于A.225 B.250C.270 D.300
等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，
命题点2 等差数列前n项和的性质例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于A.110 B.150C.210 D.280
因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列.故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
1.若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3C.4 D.5
∵S15＝30，∴ (a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
∴S2 023＝2 023×2＝4 046.
(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).②S2n－1＝(2n－1)an.③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
跟踪训练3 (1)(2021·北京){an}和{bn}是两个等差数列，其中 (1≤k≤5)为常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3等于A.64 B.128 C.256 D.512
设等差数列{an}的公差为d，
KESHIJINGLIAN
1.(2022·芜湖模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为A.－2 B.2 C.－3 D.3
设公差为d，因为a3＋a9＝2a6＝30，
2.(2022·莆田模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9－a11的值为A.－3 B.3 C.－12 D.12
由等差中项的性质可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.
3.(2022·铁岭模拟)中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是
由题设知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.
4.(2022·山东省实验中学模拟)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为A.28 B.29C.30 D.31
设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.
5.(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，
6.(多选)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列结论正确的是A.公差d<0B.在所有小于0的Sn中，S17最大C.a8>a9D.满足Sn>0的n的个数为15
∵S8>S9，且S9＝S8＋a9，∴S8>S8＋a9，即a9<0，又S8>S7，S8＝S7＋a8，∴S7＋a8>S7，即a8>0，∴d＝a9－a8<0，故A，C中的结论正确；∵S9>S7，S9＝S7＋a8＋a9，∴S7＋a8＋a9>S7，即a8＋a9>0，又a1＋a16＝a8＋a9，
故B中的结论正确，D中的结论错误.
7.(2019·北京)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝___.
层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为_____.
8.(2022·铁岭模拟)一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐
设该数列为{an}，依题意可知，a5，a6，…成等差数列，且公差为2，a5＝5，
解得n＝12(n＝－8舍去).故最下面三层的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式.
10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于A.3 B.4 C.5 D.6
∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
解得m＝5，经检验为原方程的解.
12.(多选)(2022·济宁模拟)设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项正确的有A.a1>0，d<0B.a7＋a8>0C.S6与S7均为Sn的最大值D.a8<0
因为S14>0，S15<0，
所以等差数列{an}的前7项为正数，从第8项开始为负数，则a1>0，d<0，S7为Sn的最大值.
13.(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
方法一 (观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
方法二 (引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.
14.(2022·东莞模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d，前n项和为Sn.若Sn≤S8恒成立，则公差d的取值范围是___________.
根据等差数列{an}的前n项和Sn满足Sn≤S8恒成立，可知a8≥0且a9≤0，所以1＋7d≥0且1＋8d≤0，
15.定义向量列a1，a2，a3，…，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d为常向量，则称这个向量列{an}为等差向量列.这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}满足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，则向量列{an}的前n项和Sn＝___________.
因为向量线性运算的坐标运算，是向量的横坐标、纵坐标分别进行对应的线性运算，则等差数列的性质在等差向量列里面也适用，由等差数列的等差中项的性质知2a3＝a2＋a4＝(6,10)，解得a3＝(3,5)，
由等差数列的通项公式可得等差向量列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(1,1)＋(n－1)(1,2)＝(1,1)＋(n－1,2n－2)＝(1＋n－1,1＋2n－2)＝(n，2n－1)，
16.在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；
设数列{an}的公差为d，由题意得2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
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