2023版考前三个月冲刺专题练　第15练　等差数列、等比数列【无答案版】

第15练　等差数列、等比数列

1．(2019·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A．an＝2n－5   B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n   D．Sn＝n2－2n

2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)

A．14  B．12  C．6  D．3

3．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

4．(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块   B．3 474块

C．3 402块   D．3 339块

5．(2019·全国Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.

6．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

7．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1.

(1)证明：{an}是等差数列；

(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．

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8．(2022·新高考全国Ⅱ)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.

(1)证明：a1＝b1；

(2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数．

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9．(2022·乐山调研)在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，那么a7＋a8等于(　　)

A．40   B．36 

C．54   D．81

10．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)

A．10   B．15 

C．20   D．25

11．(多选)(2022·重庆质检)已知等比数列{an}满足a1＝1，公比q＝，则(　　)

A．数列{a2n}是等比数列

B．数列是递减数列

C．数列{log2an}是等差数列

D．数列{a}是等比数列

12．(多选)(2022·武汉质检)若数列{an}前n项的和为Sn，则下列说法正确的是(　　)

A．若an＝－2n＋11，则数列{an}前5项的和最大

B．若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝2·3n－1＋a，则a＝－2

C．a1＝2 024，Sn＝n2an，则a2 023＝

D．若{an}为等差数列，且a1 011<0，a1 011＋a1 012>0，则当Sn<0时，n的最大值为2 022

13．(2022·合肥质检)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S6－3S2＝24，则S8＝________.

14．(2022·淄博模拟)已知在等差数列{an}中，a5＝，设函数f(x)＝sin x＋cos 2x＋2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为________．

15．(2022·咸阳模拟)在下列条件：①数列{an}的任意相邻两项均不相等，a1＝2，且数列{a－an}为常数列；②Sn＝(an＋n＋1)；③a1＝1，Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面的问题．

已知数列{an}的前n项和为Sn，________，求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

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16．(2022·湖南师大附中模拟)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)证明：不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1)．

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[考情分析]　高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式考查，属于中档题目．

一、等差数列、等比数列的基本运算

核心提炼

1．等差数列

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；

(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d.

2．等比数列

(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；

(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；

q≠1，Sn＝＝.

练后反馈

二、等差数列、等比数列的性质

核心提炼

1．等差数列常用性质：

(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

(2)an＝am＋(n－m)d；

(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．

2．等比数列常用性质：

(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；

(2)an＝am·qn－m.

练后反馈

三、等差数列、等比数列的判断与证明

核心提炼

证明数列{an}是等差(比)数列的方法：

(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：

①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；

②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．

(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明(an≠0，n∈N*)为一常数；

②利用等比中项，证明a＝an－1an＋1(an≠0，n≥2，n∈N*)．

练后反馈

1．[T14补偿](2022·宜宾模拟)如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n个正方形，设这n个正方形的面积之和为Sn，则S5等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

2．[T14补偿](2022·黄山质检)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　)

A.   B．3 

C．±   D．±3

3．[T6补偿](2022·黄山模拟)将数列{3n－1}与{2n＋1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的第10项为(　　)

A．210－1   B．210＋1

C．220－1   D．220＋1

4．[T12补偿](2022·运城模拟)公比为q的等比数列{an}，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1>1，a2 021·a2 022>1，<0.则下列结论正确的是(　　)

A．Tn的最大值为T2 021

B．a2 021·a2 023>1

C．Sn的最大值为S2 023

D．q>1

5．[T15补偿](2022·潍坊模拟)在①点(an，Sn)在直线2x－y－1＝0上；②a1＝2，Sn＋1＝2Sn＋2；③an>0，a1＝1,2a＋3anan＋1－2a＝0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．

问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，________.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断－S1，Sn，Sn＋1是否成等差数列，并说明理由．

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