2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣5　概率与统计

这是一份2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣5　概率与统计，共10页。

1．排列数、组合数公式，组合数的性质
(1)排列数公式：
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)(m≤n)．
规定：0！＝1.
(2)组合数公式：
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1·…·n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！).
规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
(3)组合数性质：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
2．二项式定理及二项展开式的通项公式
二项式定理：
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn，n∈N*.
二项展开式的通项：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(k＝0,1，…，n)．
3．二项式系数的性质
Ceq \\al(k,n)为二项式系数(区别于该项的系数)，其性质：
(1)对称性：Ceq \\al(k,n)＝Ceq \\al(n－k,n)(k＝0,1,2，…，n)．
(2)系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n，Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝2n－1.
(3)最值：n为偶数时，中间一项的二项式系数最大且二项式系数为；n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
4．随机事件之间的关系
(1)必然事件Ω，P(Ω)＝1；
不可能事件∅，P(∅)＝0.
(2)包含关系：A⊆B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A＋B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件．
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件．
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A与事件B互斥，P(AB)＝0.
(6)对立事件：A∪eq \x\t(A)＝Ω，A∩eq \x\t(A)＝∅.
(7)独立事件：事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，事件A与事件B独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
5．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f(A包含的样本点的个数,样本点的总数)＝eq \f(m,n).
(2)若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(3)P(A)＝1－P(eq \x\t(A))．
(4)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p(0(6)条件概率：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(7)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有
P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
(8)贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有
P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)
＝eq \f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.
6．离散型随机变量的均值和方差
(1)公式：
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi.
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi.
(2)均值、方差的性质：
①E(k)＝k(k为常数)，D(k)＝0(k为常数)．
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)两点分布与二项分布的均值与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
7．常用的抽样方法
简单随机抽样、分层随机抽样．
8．统计中的四个数据
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小依次排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差
方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
标准差：
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
9．线性回归
经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))一定过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．
10．独立性检验
利用χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
11．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．X落在三个特殊区间的概率为
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
1．求解排列问题常用的方法
2.古典概型中样本点个数的确定方法
3.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
4．样本相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
1．(多选)(2022·内江模拟)某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法正确的是( )
A．若按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人
C．采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
答案 BCD
解析 对于选项A，张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；
对于选项B，理学专业应抽取的人数为100×eq \f(30,100)＝30(人)，
工学专业应抽取的人数为100×eq \f(20,100)＝20(人)，故B正确；
对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层随机抽样更合理，故C正确；
对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确．
2．(多选)某学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并把收集的数据整理分别绘制成如图所示的柱形图和扇形图，柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是( )
A．扇形图中D的占比最小
B．柱形图中A和C一样高
C．无法计算扇形图中A的占比
D．估计该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半
答案 ABD
解析 由扇形图可得，D的占比最小，故A正确；
因为D的人数为18，且D占比为15%，
所以抽取的总人数为eq \f(18,15%)＝120(人)，
所以A组人数为120－42－30－18＝30(人)，
所以柱形图中A和C一样高，故B正确；
由B选项可得，A组30人，占比为eq \f(30,120)＝0.25＝25%，故C错误；
A或C的人数和为60人，抽取的总人数为120，故估计占学生总人数的一半，故D正确．
3．(多选)某学校举行诗歌朗诵比赛，10位评委对甲、乙两位同学的表现进行打分，满分为10分，将两位同学的得分制成如图所示的茎叶图，其中茎叶图茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列说法正确的是( )
A．甲同学的平均分大于乙同学的平均分
B．甲、乙两位同学得分的极差分别为2.4和1
C．甲、乙两位同学得分的中位数相同
D．甲同学得分的方差更小
答案 ABC
解析 对于甲，eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(7.8＋7.8＋7.5＋7.5＋8.0＋8.0＋8.2＋8.3＋8.4＋9.9)＝8.14，
对于乙，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(7.5＋7.8＋7.8＋7.8＋8.0＋8.0＋8.3＋8.3＋8.5＋8.5)＝8.05，故A正确；
甲的极差为9.9－7.5＝2.4，乙的极差为8.5－7.5＝1，故B正确；
甲得分的中位数为eq \f(8.0＋8.0,2)＝8.0，乙得分的中位数为eq \f(8.0＋8.0,2)＝8.0，故C正确；
对于甲，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(7.5－8.14)2＋(7.5－8.14)2＋(7.8－8.14)2＋(7.8－8.14)2＋(8.0－8.14)2＋(8.0－8.14)2＋(8.2－8.14)2＋(8.3－8.14)2＋(8.4－8.14)2＋(9.9－8.14)2]＝0.428 4，
对于乙，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)[(7.5－8.05)2＋(7.8－8.05)2＋(7.8－8.05)2＋(7.8－8.05)2＋(8.0－8.05)2＋(8.0－8.05)2＋(8.3－8.05)2＋(8.3－8.05)2＋(8.5－8.05)2＋(8.5－8.05)2]＝0.102 5，故D错误．
4．(多选)下列命题中，为真命题的是( )
A．若经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝－0.45x＋0.6，则变量y与x正相关
B．线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为8
D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”
答案 CD
解析 因为eq \(b,\s\up6(^))＝－0.45<0，
所以变量y与x负相关，A错误；
R2值越大，模型的拟合效果越好，B错误；
数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8，C正确；
事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，D正确．
5．2022年9月某市组织全体在校高中生集中观看某记录片，电影院为了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，则不同的分配方法种数为( )
A．125 B．150 C．240 D．300
答案 B
解析 5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，则3个影厅的小组的数目为2,2,1或1,1,3.
若3个影厅的小组的数目为2,2,1，
则不同的分配方法种数为eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))Aeq \\al(3,3)＝90(种)；
若3个影厅的小组的数目为1,1,3，
则不同的分配方法种数为eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),A\\al(2,2))Aeq \\al(3,3)＝60(种)．
故不同的分配方法总数为150种．
6．(多选)(2022·石家庄模拟)投掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“朝上一面点数为奇数”，事件B＝“朝上一面点数不超过2”，则下列叙述正确的是( )
A．事件A，B互斥
B．事件A，B相互独立
C．P(A∪B)＝eq \f(5,6)
D．P(B|A)＝eq \f(1,3)
答案 BD
解析 对于A，若朝上一面的点数为1，则事件A，B同时发生，
∴事件A，B不互斥，A错误；
对于B，∵事件A不影响事件B的发生，
∴事件A，B相互独立，B正确；
对于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(3,6)＋eq \f(2,6)－eq \f(1,6)＝eq \f(2,3)，C错误；
对于D，∵P(AB)＝eq \f(1,6)，P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq \f(1,3)，D正确．
7．在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．
答案 6
解析 (1－x)4的展开式的通项公式为Ceq \\al(k,4)(－x)k，
(2x＋1)5的展开式的通项公式为Ceq \\al(t,5)(2x)5－t，
所以在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项为Ceq \\al(0,4)(－x)0Ceq \\al(3,5)(2x)5－3＋Ceq \\al(1,4)(－x)1Ceq \\al(4,5)(2x)5－4＋
Ceq \\al(2,4)(－x)2Ceq \\al(5,5)(2x)5－5＝6x2，
所以含x2的项的系数为6.
8．橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》．意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变．某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(90，σ2)，且P(86<ξ≤90)＝0.2，在有1 000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为________．
答案 300
解析 结合正态分布特征，
P(86<ξ≤90)＝P(90<ξ≤94)＝0.2，
P(ξ≥94)＝eq \f(1－2×0.2,2)＝0.3，
所以估计单个果品质量不低于94 g的橘果个数为0.3×1 000＝300.
9．某市公安交管部门曾于2018年年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故(一般程序)共3 558起，造成326人死亡(因颅脑损伤导致死亡占81.2%)，死亡人数中有263人未佩戴头盔(占80.7%)．驾乘电动自行车时佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现．该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果．表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一
(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测该路口2023年驾乘人员未佩戴头盔的人数；
(2)交管部门从2018～2022年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？
附：参考公式及数据：
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝14 710；
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
eq \x\t(y)＝eq \f(1 250＋1 200＋1 010＋920＋870,5)＝1 050，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(14 710－5×3×1 050,1＋4＋9＋16＋25－5×32)＝－104，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))·eq \x\t(x)＝1 050＋104×3＝1 362.
所以eq \(y,\s\up6(^))＝－104x＋1 362，
当n＝6时，－104×6＋1 362＝738(人)．
预测该路口2023年驾乘人员未佩戴头盔的人数为738人．
(2)零假设为
H0：驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡无关．由题意得，
χ2＝eq \f(50×6×30－4×102,10×40×16×34)≈4.504>3.841＝x0.05，
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，
即认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关．
10．(2022·九江模拟)2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办．为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A，B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分．已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为eq \f(2,5)，答对B难度问题的概率为eq \f(4,5)，且每轮答题互不影响．
(1)若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；
(2)若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和均值．
解 (1)该选手最终得分为10分，则3轮比赛中有且仅有1轮比赛答对A难度问题，
故所求概率为P＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))2＝eq \f(54,125).
(2)依题意得，X所有可能的取值为0,5,10,15，
P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＝eq \f(3,125)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＝eq \f(24,125)，
P(X＝10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))2×eq \f(2,5)＝eq \f(50,125)＝eq \f(2,5)，
P(X＝15)＝Ceq \\al(1,2)×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))×eq \f(2,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2×eq \f(2,5)＝eq \f(48,125)，
所以X的分布列为
所以X的均值E(X)＝0×eq \f(3,125)＋5×eq \f(24,125)＋10×eq \f(2,5)＋15×eq \f(48,125)＝10.72.直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中
先整体，后局部
“小集团”排列问题中，先整体，后局部
除法
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中样本点数的探求
年度
2018
2019
2020
2021
2022
年度序号x
1
2
3
4
5
未佩戴头盔人数y
1 250
1 200
1 010
920
870
未佩戴头盔
佩戴头盔
合计
伤亡
6
10
16
无伤亡
4
30
34
合计
10
40
50
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
X
0
5
10
15
P
eq \f(3,125)
eq \f(24,125)
eq \f(2,5)
eq \f(48,125)