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2023版考前三个月冲刺专题练　第22练　随机变量及其分布

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这是一份2023版考前三个月冲刺专题练　第22练　随机变量及其分布，共16页。

第22练　随机变量及其分布

1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
答案　B
解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，
所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，
所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4) 所以Cp4(1－p)6 所以p>0.5，
所以p＝0.6.
2．(2019·浙江)设0 X
0
a
1
P

则当a在(0,1)内增大时，(　　)
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
答案　D
解析　由题意可知，E(X)＝(a＋1)，
所以D(X)＝＋＋
＝＝，
所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．
3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案　D
解析　对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．
4．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，
∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝.
5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案　1.96
解析　由题意得X～B(100,0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
6．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.
答案　　
解析　由题意知ξ的可能取值为1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P

E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与均值．
解　(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，
所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.
(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，
所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.
则X的分布列为
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06

E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
8．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与均值E(X)．
解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.

9．(2022·温州模拟)已知随机变量X的分布列是
X
－1
0
1
P
a

b

若E(X)＝0，则D(X)等于(　　)
A．0 B. C. D．1
答案　C
解析　由已知可得
解得a＝b＝，
因此，D(X)＝[(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2]＝.
10．(2022·常州模拟)俄国著名飞机设计师埃格·西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了在远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障相互独立．已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则A340飞机引擎的故障率应控制的范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意得，飞机引擎正常运行的概率为p，
则A310飞机能成功飞行的概率为Cp2＝p2，
A340飞机能成功飞行的概率为
Cp3(1－p)＋Cp4＝－3p4＋4p3，
令－3p4＋4p3>p2，即－3p2＋4p>1，
解得所以0<1－p<，
所以A340飞机引擎的故障率应控制的范围是.
11．(多选)(2022·重庆质检)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产量已经实现1 100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ，η)均服从正态分布，其中ξ～N(μ1，σ)，η～N(μ2，σ)．如图，已知μ1＝1 150，μ2＝1 130，σ＝2 500，σ＝1 600，两正态密度曲线在直线x＝μ2左侧交于点M(x0，y0)，则下列说法正确的是(　　)

A．P(ξ<μ1) B．P(η<μ1)>P(η<μ2)
C．P(ξ>x0)x0)
D．P(ξ>1 250)>P(η<1 050)
答案　BC
解析　由图可知P(ξ<μ1)>P(ξ<μ2)，故A错误；
由图可知P(η<μ1)>P(η<μ2)，故B正确；
∵P(ξ>x0)＝1－P(ξ≤x0)，
P(η>x0)＝1－P(η≤x0)，
由图可知P(ξ≤x0)>P(η≤x0)，
∴P(ξ>x0)x0)，故C正确；
μ1＝1 150，σ1＝50，μ2＝1 130，σ2＝40，
P(ξ>1 250)＝P(ξ>μ1＋2σ1)，
P(η<1 050)＝P(η<μ2－2σ2)
＝P(η>μ2＋2σ2)，
根据正态密度曲线的性质和3σ原则，应该有P(ξ>1 250)＝P(η<1 050)，故D错误．
12．(多选)(2022·唐山模拟)下列说法正确的是(　　)
A．某投掷类游戏闯关规则是参加游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η<2)＝0.5，E(δ)＝6
答案　AC
解析　选项A,5次都没投中的概率为5＝.所以闯关成功的概率为1－＝，故A正确；
选项B，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生分为1名女生、3名男生，2名女生、2名男生，3名女生、1名男生，4名都是女生4种情况．
共有CC＋CC＋CC＋C＝1 155(种)情况．而CC＝1 820，所以其中至少有1名女生的概率为≠，故B不正确；
选项C，由P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，
则a＝1，解得a＝，
所以P(X＝2)＝×＝，故C正确；
选项D，随机变量η～N(2，σ2)，
则P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，
所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，故D不正确．
13．(2022·咸阳模拟)经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，X～N(85，σ2)，且P(80 答案　0.35
解析　∵学生成绩X服从正态分布X～N(85，σ2)，且P(80 ∵P(X≥90)＝[1－P(80 ＝(1－0.3)＝0.35，
∴从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35.
14．(2022·绍兴模拟)袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立．设此过程中取到红球的个数为ξ，则P(ξ＝1)＝______，E(ξ)＝______.
答案　　
解析　有放回地取球，每次取一球，
则每次取到红球的概率为＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
在此过程中取到的红球个数为ξ，ξ的可能取值为0,1,2.
则ξ～B，则E(ξ)＝2×＝.
15．(2022·武汉模拟)某校高三年级非常重视学生课余时间的管理，进入高三以来，倡导学生利用中午午休前40分钟，晚餐后30分钟各做一套试卷．小红、小明两位同学都选择做数学或物理试卷，对两位同学过去100天的安排统计如下：
科目选择(中午，晚上)
(数，数)
(数，物)
(物，数)
(物，物)
休息
小红
25天
20天
35天
10天
10天
小明
20天
25天
15天
30天
10天

假设小红、小明选择科目相互独立，用频率估计概率：
(1)请预测在今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率；
(2)记X为两位同学在一天中选择科目的个数，求X的分布列和均值E(X)；
(3)试判断小红、小明在晚上做物理试卷的条件下，哪位同学更有可能中午选择做数学试卷，并说明理由．
解　 (1)由表格数据知，小红中午和晚上都选数学的概率为＝，
∴今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率P＝C×3×2＝.
(2)由表格数据知，小红选择0科的概率为；
选择数学1科的概率为，
选择物理1科的概率为；
选择2科的概率为；
小明选择0科的概率为；
选择数学1科的概率为，
选择物理1科的概率为；
选择2科的概率为；
则X所有可能的取值为0,1,2，
∴P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＋×＋×＝，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－－＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)记事件A1：小红晚上做物理试卷；
事件A2：小明晚上做物理试卷；
事件B1：小红中午做数学试卷；
事件B2：小明中午做数学试卷；
由表格数据可得
P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
P(A1B1)＝＝，
P(A2B2)＝＝；
∴P(B1|A1)＝＝＝，
P(B2|A2)＝＝＝，
∵>，即P(B1|A1)>P(B2|A2)，
∴在晚上做物理试卷的条件下，小红更有可能中午选择做数学试卷．
16．(2022·桂林模拟)某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化、精细化管理，使得葡萄产量有较大提高．葡萄采摘并去掉残次品后，随机按每箱10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量(单位：kg)，将称量结果分成5组：[1.0，1.2)，[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)，[1.8，2.0]，并绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值(残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表)；
(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X服从正态分布N(μ，0,04)，其中μ的近似值为每串葡萄质量的平均值，请估计10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数；
(3)规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过1.8 kg的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为ξ，求ξ的均值．
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解　(1)由频率分布直方图可知，0.2(0.4＋1.0＋2a＋2.0)＝1，解得a＝0.8.
估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值
＝1.1×0.4×0.2＋1.3×1.0×0.2＋1.5×2.0×0.2＋1.7×0.8×0.2＋1.9×0.8×0.2＝1.524.
(2)由题意可知，μ＝1.524，σ＝0.2，
所以μ－2σ＝1.124，μ＋2σ＝1.924，
μ－σ＝1.324，μ＋σ＝1.724.
所以P(1.124 ＝[P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈0.818 6.
所以10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数的估计值为
10 000×0.818 6×10＝81 860.
(3)在这批葡萄中随机抽取一串，葡萄的质量超过1.8 kg的频率为0.8×0.2＝0.16，
因此随机打开一箱，再从中随机抽取一串，这串葡萄为优等品的概率为P＝0.16＝，
依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…，10，且ξ～B，
所以ξ的均值为E(ξ)＝10×＝.

[考情分析]　高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上．

一、分布列的性质及应用
核心提炼
1．离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn

离散型随机变量X的分布列具有两个性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)i＝1(i＝1,2,3，…，n)．
2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi；
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi.
3．均值、方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
(3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
练后反馈
题目
2
4
7
9

正误

错题整理：

二、随机变量的分布列
核心提炼
1．n重伯努利试验与二项分布
X～B(n，p)，P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，
m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
练后反馈
题目
1
5
6
8
10
12
14
15

正误

错题整理：

三、正态分布
核心提炼
正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，曲线在x＝μ处达到峰值.
(3)曲线与x轴之间的区域的面积总为1.
(4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
练后反馈
题目
3
11
13
16

正误

错题整理：

1．[T2补偿](2022·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
a
9
P
b
1－2b
b

其中1 A．若a＝5，则当0 B．若a＝5，则当0 C．若b＝，则当a＝5时，D(ξ)有最小值
D．若b＝，则当a＝5时，D(ξ)有最大值
答案　C
解析　若a＝5，则E(ξ)＝1×b＋5×(1－2b)＋9b＝5，故A，B均错误；
若b＝，
则E(ξ)＝1×＋a×＋9×＝，
D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝(6a2－60a＋438)，
其对称轴为直线a＝＝5，
则a＝5时，D(ξ)有最小值，故C正确，D错误．
2．[T12补偿]某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　设小王正确完成的面试题数为X，则X的可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；
P(X＝3)＝＝＝.
∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
3．[T10补偿](2022·重庆模拟)通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于0.1%)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.000 5.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当0 A. B. C. D.
答案　B
解析　由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行“10合1”混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，
概率分别为(1－p)10和1－(1－p)10，
故10人组检测次数的均值为11－10(1－p)10，相当于每个个体平均检测[1.1－(1－p)10]次，
同理，采用“5合1”混检，每个个体平均检测
[1.2－(1－p)5]次，
∴E(X)∶E(Y)＝
≈＝
＝＝.
4．[T6补偿]盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________.
答案　　1
解析　当ξ＝0时，有两种情况：
第一种为第一次拿到红球，
第二种为第一次拿到绿球，第二次拿到红球，
故P(ξ＝0)＝＋×＝.
当ξ＝1时，有三种情况，即黄红、绿黄红、黄绿红，
故P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝.
当ξ＝2时，有四种情况，即黄黄红、黄绿黄红、绿黄黄红、黄黄绿红，
故P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
5．[T8补偿]某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当p＝时，
①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X，求X的分布列和均值；
(2)乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p(0 解　(1)①记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲自己答对”，
则P(A)＝＋×＝，
P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
②根据题意得，X的可能取值为0,1,2,3,4，
甲答对某道题的概率P(A)＝＋×＝，
则X～B，
P(X＝k)＝C×k×4－k(k＝0,1,2,3,4)，
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

E(X)＝4×＝.
(2)记事件Ai为“甲答对了i(i＝0,1,2)道题”，
事件Bi为“乙答对了i(i＝0,1,2)道题”，
其中甲答对某道题的概率为＋p＝(1＋p)，
答错某道题的概率为1－(1＋p)＝(1－p)，
则P(A1)＝C×(1＋p)×(1－p)
＝(1－p2)，
P(A2)＝2＝(1＋p)2，
P(B0)＝2＝，
P(B1)＝C××＝，
所以P(A1B0∪A2B1∪A2B0)＝(1－p2)×＋(1＋p)2×＋(1＋p)2×＝×(3p2＋10p＋7)
≥，
又0