2023版考前三个月冲刺专题练　第25练　圆锥曲线的方程与性质

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第25练　圆锥曲线的方程与性质


1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
答案　C
解析　设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6.
2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
答案　D
解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案　B
解析　依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，
·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝＝＝，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
所以C的方程为＋＝1.
4．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤.
5．(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　AC
解析　不妨设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，

图1
设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，
由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，
所以|F1P|＝b.
过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.
由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因为cos∠F1NF2＝，
所以sin∠F1NF2＝，
故|NF2|＝a，|QN|＝a，
所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋a.
由双曲线的定义可知
|NF1|－|NF2|＝2a，
所以2b＋a－a＝2a，所以2b＝3a.
两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，
整理得4c2＝13a2，所以＝，
故＝，即e＝.
当两个交点M，N都在双曲线的左支上时，如图2所示，

图2
同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因为cos∠F1NF2＝，
所以sin∠F1NF2＝，
可得|NF2|＝a，|NQ|＝a，
所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝a－2b，
所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝a－2b，
又|NF2|＝a，所以a－2b＝a，
即a＝2b，故e＝＝.
6．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________.
答案　
解析　双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，
即x2＋(y－2)2＝1，
所以圆心为(0,2)，半径r＝1，
依题意知圆心(0,2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，
解得m＝或m＝－(舍去)．
7．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
答案　13
解析　∵椭圆的离心率为e＝＝，
∴a＝2c，
∴b2＝a2－c2＝3c2，
∴椭圆的方程为＋＝1，
即3x2＋4y2－12c2＝0，
不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，

∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，
a＝2c，
∴∠AF2O＝，
∴△AF1F2为正三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，
∴直线DE的斜率为，斜率的倒数为，
∴直线DE的方程为x＝y－c，
代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，
整理化简得13y2－6cy－9c2＝0，
判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2
＝62×16×c2，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
∴|DE|＝|y1－y2|＝2×
＝2×6×4×＝6，
∴ c＝，则a＝2c＝，
∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性知，
|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，
∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，
利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13.
8．(2022·浙江)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0 答案　
解析　如图，过F且斜率为的直线AB的方程为

y＝(x＋c)，
渐近线l2的方程为y＝x，
联立得B，
由|FB|＝3|FA|，得A，
而点A在双曲线上，于是－＝1，
解得＝，
所以离心率e＝.

9．(2022·衡水模拟)已知双曲线C：－＝1与双曲线x2－y2＝6有相同的焦点．则C的渐近线方程为(　　)
A.x±y＝0 B．x±y＝0
C.x±y＝0 D．x±y＝0
答案　C
解析　由x2－y2＝6，得－＝1，
由题意得m＋2m＋3＝12，解得m＝3，
所以C：－＝1，
所以C的渐近线方程为y＝±x，
即x±y＝0.
10．(2022·宝鸡模拟)设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为M，P是C上一点，若|PF|＝5，则|PM|等于(　　)
A. B．5 C．2 D.
答案　D
解析　如图所示，过点P作PQ垂直于l，交l于点Q，

不妨设P(x，y)(x>0)，
根据抛物线定义得|PF|＝|PQ|＝y＋＝y＋1＝5，
所以y＝4，所以x＝4，即P(4,4)，
所以|QM|＝4，
所以|PM|＝＝＝.
11．(2022·淄博模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为A1，O为坐标原点，若＝2，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意得F(c，0)，B(0，b)，设A(x，y)，
因为＝2，所以＝2，
所以(c，－b)＝2(x－c，y)，
得即A，
因为点A在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，
所以＋＝1，化简得＝，
所以离心率e＝＝.
12．(多选)(2022·梅州模拟)下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是(　　)
A．设A，B为两个定点，k为非零常数，||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线
B．过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆
C．方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点
答案　CD
解析　对于A选项，若动点P的轨迹为双曲线，
则|||－|||<||，即|k|<||，
但|k|与||的大小关系未知，A选项错误；
对于B选项，由＝(＋)可得
－＝(＋)－＝(－)，
可得＝，
所以P为线段AB的中点，如图所示．

当AB为圆C的一条直径时，P与C重合；
当AB不是圆C的直径时，由垂径定理可得CP⊥AB，
设AC的中点为M，由直角三角形的几何性质可得|PM|＝|AC|(定值)，
所以点P的轨迹为圆，B选项错误；
对于C选项，解方程2x2－5x＋2＝0，
可得x1＝，x2＝2，
所以方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C选项正确；
对于D选项，双曲线－＝1的焦距为2＝2，焦点坐标为(±，0)，椭圆＋y2＝1的焦距为2＝2，焦点坐标为(±，0)，D选项正确．
13．(多选)(2022·厦门模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，已知M(3，－2)，N(－1,1)，则(　　)
A．若直线l垂直于x轴，则|AB|＝4
B．y1y2＝－4
C．若P为C上的动点，则|PM|＋|PF|的最小值为5
D．若点N在以AB为直径的圆上，则直线l的斜率为2
答案　ABD
解析　当直线l垂直于x轴时，其方程为x＝1，
联立可得或
所以A(1,2)，B(1，－2)，
所以|AB|＝4，A对；
由已知可得直线l的斜率不为0，
故可设其方程为x＝my＋1，
联立化简可得y2－4my－4＝0，
Δ＝(4m)2＋16>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，B对；
点N在以AB为直径的圆上，则·＝0，
又N(－1,1)，
所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
又x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，
所以(my1＋2)(my2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
所以(m2＋1)y1y2＋(2m－1)(y1＋y2)＋5＝0，
所以4m2－4m＋1＝0，故m＝，
此时直线l的斜率为2，D对；
如图，过点P作PP1垂直于准线x＝－1，垂足为P1，
过点M作MM1垂直于准线x＝－1，垂足为M1，

则|PP1|＝|PF|，
所以|PM|＋|PF|
＝|PM|＋|PP1|
≥|MM1|＝4，
当且仅当点P的坐标为(1，－2)时，等号成立，
所以|PM|＋|PF|的最小值为4，C错．
14．(2022·临沂模拟)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在第二象限内，且满足|F1P|＝a，(＋)·＝0，线段F1P与双曲线C交于点Q，若|F1P|＝3|F1Q|，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　取F1P的中点M，如图，

(＋)·＝0⇒F1P⊥F2M.
由题意可得，
⇒|QF2|＝，
又|F1M|＝，
|QM|＝－＝.
由|F2M|2＝|F1F2|2－|F1M|2
＝|QF2|2－|QM|2，
得4c2－＝－，
整理得，c2＝a2，
则＝＝.
15．(2022·宣城模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y－＝0平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程是________．
答案　－y2＝1
解析　由题意可知，＝，
直线l：x－2y－＝0与x轴的交点坐标为(，0)，
由双曲线的一个焦点在直线l上可知，(，0)即为双曲线的一个焦点，
故c＝，则a2＋b2＝5，
解得a2＝4，b2＝1，
故双曲线方程为－y2＝1.
16．(2022·杭州模拟)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围是__________．
答案　
解析　设F′为椭圆的另一焦点，如图，连接AF，BF，BF′，AF′，

根据椭圆和直线的对称性，可得四边形AFBF′为平行四边形，
又因为∠AFB＝135°，
所以∠FAF′＝45°，
在△AFF′中，|FF′|2＝|AF|2＋|AF′|2－2|AF|·|AF′|cos∠FAF′＝(|AF|＋|AF′|)2－(2＋)×|AF|·|AF′|，
所以(|AF|＋|AF′|)2－(2＋)×2≤(|FF′|)2，
当且仅当|AF|＝|AF′|时，等号成立，
即≤2，
又因为|FF′|＝2c，|AF|＋|AF′|＝2a，
所以e2≥，
又因为e2<1，
故≤e2<1.

[考情分析]　圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第一问的形式命题，题目常为中档难度．

一、圆锥曲线的定义与标准方程
核心提炼
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)．
(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
练后反馈
题目
1
2
3
7
15




正误









错题整理：

二、椭圆、双曲线的性质
核心提炼
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)．
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
练后反馈
题目
4
5
6
8
9
11
12
14
16

正误










错题整理：

三、抛物线的性质
核心提炼
抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
练后反馈
题目
10
13







正误









错题整理：


1．[T12补偿](多选)(2022·衢州模拟)已知曲线C：＋＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．若曲线C表示双曲线，则k>5
B．若曲线C表示椭圆，则1 C．若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为，则k＝7
D．若曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点，则k＝4
答案　BCD
解析　对于A，若曲线C：＋＝1表示双曲线，则(k－1)(5－k)<0，解得k<1或k>5，故A错误；
对于B，若曲线C：＋＝1表示椭圆，则解得1 对于C，若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为，则
所以c2＝a2＋b2＝2k－6，则e2＝＝＝，解得k＝7，故C正确；
对于D，椭圆＋＝1的焦点为(±，0)，
若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则则k>5，则c2＝2k－6＝2，解得k＝4(舍去)；
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则则3 2．[T11补偿](2022·赤峰模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若|F1F2|＝|AF2|，＝2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为|F1F2|＝|AF2|＝2c，
由椭圆定义知|AF1|＝2a－2c，
又＝2，
所以|BF1|＝a－c，
再由椭圆定义知|BF2|＝2a－(a－c)＝a＋c，
因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝π，
所以cos∠AF1F2＝－cos∠BF1F2，
所以由余弦定理可得

＝－，
即
＝－，
化简可得a2＋3c2－4ac＝0，
即3e2－4e＋1＝0，
解得e＝或e＝1(舍去)．
3．[T4补偿](2022·赣州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，P是椭圆C上的点，F1(－c，0)，F2(c，0)是椭圆C的左、右焦点，若·≤ac恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是(　　)
A. B．(0，－1]
C. D．[－1,1)
答案　A
解析　设P(x0，y0)，
∴＝(c－x0，－y0)，
＝(－c－x0，－y0)，
∴·＝x－c2＋y≤ac，
∵点P在椭圆上，
∴＋＝1，x0∈[－a，a]，
∴y＝，
∴x－c2＋y＝x－c2＋≤ac，
两边都乘以a2化简后得
c2x－2a2c2＋a4≤a3c，
∴x≤＋2a2－，x∈[0，a2]，
∴a2≤＋2a2－，
∴1≤＋2－⇒2≤，
∴e≥，
又∵椭圆离心率e∈(0,1)，
∴e∈.
4．[T13补偿](多选)已知O为坐标原点，抛物线E的方程为y＝x2，E的焦点为F，直线l与E交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为2，则下列结论正确的是(　　)
A．E的准线方程为y＝－
B．|AB|的最大值为6
C．若＝2，则直线AB的方程为y＝±x＋1
D．若OA⊥OB，则△AOB面积的最小值为16
答案　BCD
解析　由题意知E的标准方程为x2＝4y，
故E的准线方程为y＝－1，故A错误；
设AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N，如图所示，

因为M到x轴的距离为2，
所以|MN|＝2＋1＝3.
由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
所以2|MN|＝|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝6.
因为|AF|＋|BF|≥|AB|，
所以|AB|≤6，故B正确；
由＝2得直线AB过点F(0,1)，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝kx＋1，
联立方程得
化简得x2－4kx－4＝0，
则xAxB＝－4.
由于＝2，
所以(－xA，1－yA)＝2(xB，yB－1)，
得xA＝－2xB，
得xA＝±2，
所以yA＝x＝2，
所以k＝±，
直线AB的方程为y＝±x＋1，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，
又
所以x1x2＋(x1x2)2＝0，
由题意知x1x2≠0，所以x1x2＝－16.
又kAB＝＝＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)．
由于y1＝，
所以y＝x－＝x＋4，
则直线AB恒过点(0,4)，
所以S△AOB＝×4|x1－x2|＝2≥16，
所以△AOB面积的最小值为16，故D正确．
5．[T10补偿](2022·毕节模拟)设点An(－n，yn)(n∈N*)在抛物线y2＝－6x上，F是焦点，则|A1F|＋|A2F|＋…＋|A40F|等于(　　)
A．880 B．878 C．876 D．882
答案　A
解析　由题意知，抛物线开口向左，焦半径公式|AnF|＝＋n＝＋n，
所以|A1F|＋|A2F|＋…＋|A40F|＝×40＋(1＋2＋…＋40)
＝60＋＝880.
6．[T16补偿](2022·新余模拟)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，椭圆E上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为4＋2，则离心率e＝________.
答案　
解析　如图，P与Q关于原点对称，

则Q(－2，－1)，
∴|PQ|＝2
＝2，
又△PQF的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|
＝4＋2，
设椭圆的右焦点为M，
则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|，
∴|QM|＋|QF|＝2a＝4，得a＝2，
将点P代入椭圆方程可得＋＝1，
解得b＝，
∴c＝＝，
则离心率e＝＝＝.