2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣1　非主干内容

这是一份2023版考前三个月冲刺回扣篇　回扣1　非主干内容，共6页。学案主要包含了集合与常用逻辑用语，平面向量，不等式，复数等内容，欢迎下载使用。

一、集合与常用逻辑用语
1．集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
2．集合的运算性质
(1)若A⊆B，则A∩B＝A，A∪B＝B.
(2)∁U(∁UA)＝A.
3．充分条件和必要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
二、平面向量
1．两个向量
两个非零向量平行、垂直的充要条件：
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
2．三个公式
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2).
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
三、不等式
1．a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒aca>b，ab>0⇒eq \f(1,a)a>b，ab<0⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b).
2．(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
(2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx≥0≤0，,gx≠0)).
3．基本不等式
(1)eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)利用基本不等式求最值时，要满足“一正、二定、三相等”．
(3)推广：eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)．
四、复数
1．两个复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c，且b＝d(a，b，c，d∈R)．
2．复数的运算法则
(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)(其中a，b，c，d∈R)．
3．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2).
(2)若复数z满足|z－(1＋i)|＝1，则复数z在复平面上对应点的轨迹是以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆．
1．若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．在△ABC中，给出eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，等价于已知AD是△ABC中BC边上的中线．
3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
4．已知eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的外心⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A).
(2)O为△ABC的重心⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→)).
(4)O为△ABC的内心⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
6．几个常用的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号，且a，b≠0)．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．
1．设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则集合A∩(∁UB)等于( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．[1,2) D．[1,2]
答案 C
解析 解不等式|x－2|≤1得1≤x≤3，
则A＝[1,3]，
解不等式2x－4≥0，得x≥2，
则B＝[2，＋∞)，∁UB＝(－∞，2)，
所以A∩(∁UB)＝[1,2)．
2．已知(1＋i)z＝2i，则复数z的共轭复数是( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
答案 C
解析 由(1＋i)z＝2i可得z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i，
所以复数z的共轭复数是1－i.
3．若不等式|x－1|A．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
答案 D
解析 由不等式|x－1|可得－a＋1要使得0则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1≤0，,a＋1≥1，))解得a≥1.
4．若命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为( )
A．[－1,4] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,3)))
C．[－1,0]∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，4)) D．[－1,0)∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，4))
答案 C
解析 若命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则其否定为真命题，
即“∀a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．
令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g－1≥0，,g3≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋3x＋4≥0，,3x2－5x≥0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤4，,x≥\f(5,3)或x≤0，))
所以实数x的取值范围为[－1,0]∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，4)).
5．(2022·溢阳模拟)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则eq \(AP,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))( )
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
答案 A
解析 设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．
eq \(AP,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
因为λeq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝λ(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝λ(eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2)＝0，
cs∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝eq \f(1,9)，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝32＋3×3cs∠BAC＝10.
6．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内的对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点B为(x，y)，则下列结论正确的有( )
A．复数z1的虚部为i
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．|z1－z2|的最大值为eq \r(13)＋2
D．|z1＋z2|的最小值为eq \r(13)－2
答案 BC
解析 由z1＝－2＋i，得虚部为1，故A错误；
因为|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点B的坐标为(x，y)，
则|(x－1)＋(y＋1)i|＝2，
点B在以(1，－1)为圆心，半径为2的圆周上，
所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故B正确；
根据复数的几何意义，知|AB|＝|z1－z2|，
所以|AB|max＝eq \r(－2－12＋1＋12)＋2＝eq \r(13)＋2，故C正确；
|z1＋z2|＝|(－2＋x)＋(1＋y)i|＝eq \r(x－22＋y＋12)表示点B与定点(2，－1)的距离，易知点在圆内，
所以|z1＋z2|min＝2－eq \r(2－12＋－1＋12)＝1，故D错误．
7．(多选)(2022·石家庄模拟)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( )
A.eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为2
B．mn的最大值为1
C.eq \r(m)＋eq \r(n)的最大值为4
D．m2＋n2的最小值为eq \f(5,4)
答案 AB
解析 ∵m>0，n>0，m＋n＝2，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(1,2)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝2，
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝n＝1时，等号成立，故A正确；
∵m＋n＝2≥2eq \r(mn)，
∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确；
∵(eq \r(m)＋eq \r(n))2＝m＋n＋2eq \r(mn)＝2＋2eq \r(mn)≤4，
∴eq \r(m)＋eq \r(n)≤2，
当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C错误；
m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故D错误．
8．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1，则綈p为________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)，ex≤x＋1
解析 由全称量词命题的否定是存在量词命题知綈p：∃x∈(0，＋∞)，ex≤x＋1.
9．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为________．
答案 eq \f(2π,3)
解析 由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,1×2)＝－eq \f(1,2)，
∴向量a与b的夹角为eq \f(2π,3).
10．已知实数a>0，b>0，且满足ab－a－2b－2＝0，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．
答案 25
解析 由ab－a－2b－2＝0，得b＝eq \f(a＋2,a－2)，
因为a>0，b>0，
所以a>2，b＝1＋eq \f(4,a－2)，ab＝a＋2b＋2，
其中(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝3a＋3b＋4＝3a＋eq \f(12,a－2)＋7＝3(a－2)＋eq \f(12,a－2)＋13
≥2eq \r(3a－2·\f(12,a－2))＋13＝25，
当且仅当3(a－2)＝eq \f(12,a－2)，即a＝4时，等号成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为25.从逻辑观点看
从集合观点看
p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇏p)
AB
p是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇏q)
BA
p是q的充要条件(p⇔q)
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件(p⇏q，q⇏p)
A与B互不包含