2023版考前三个月冲刺专题练　第21练　计数原理与概率

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第21练　计数原理与概率


1．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
答案　B
解析　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种)．
2．(2022·新高考全国Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　从7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21种取法，取得的2个数互质的情况有{2,3}，{2,5}，{2,7}，{3,4}，{3,5}，{3,7}，{3,8}，{4,5}，{4,7}，{5,6}，{5,7}，{5,8}，{6,7}，{7,8}，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为＝.
3．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
答案　C
解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．
4．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　方法一　(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A，1B，1C，1D，排成一行有A种排法，再将0A，0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝.
方法二　(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法．所以2个0不相邻的概率P＝＝.
5．(2022·北京)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4等于(　　)
A．40 B．41 C．－40 D．－41
答案　B
解析　方法一　(赋值法)
依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0.令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，
所以a0＋a2＋a4＝41.
方法二　(通项公式法)
(2x－1)4的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)4－k(－1)k，分别令k＝4,2,0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以a0＋a2＋a4＝41.
6．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
答案　B
解析　事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
7．(2022·新高考全国Ⅰ)在(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案　－28
解析　(x＋y)8展开式的通项Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0，1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令k＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
8．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案　0.18
解析　记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.

9．(2022·淄博模拟)(2x＋a)6的展开式中x2的系数为－120，则该二项式展开式中的常数项为(　　)
A．320 B．－160 C．160 D．－320
答案　D
解析　6的展开式通项为Tk＋1＝C·x6－k·k＝C·2k·x6－2k，
则2xTk＋1＝C·2k＋1·x7－2k，
因为k∈N，则7－2k≠2，
aTk＋1＝aC·2k·x6－2k，令6－2k＝2，
可得k＝2，则aC·22＝60a＝－120，
即a＝－2，
因为7－2k≠0，在－2Tk＋1中，
令6－2k＝0，可得k＝3，
因此，展开式中的常数项为－2C×23＝－320.
10．(2022·宣城模拟)2022年冬季奥林匹克运动会于2月4日在北京开幕，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会．此前，冬奥会组委会招募6名志愿者为四个馆区提供志愿服务，要求A，B两个馆区各安排一人，剩下两个馆区各安排两人，不同的安排方案共有(　　)
A．90种 B．180种 C．270种 D．360种
答案　B
解析　先安排A，B两个馆，然后安排其余两个馆，
所以不同的安排方案有CCCC＝180(种)．
11．(2022·桂林模拟)甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：

购买A种医用外科口罩
购买B种医用外科口罩
购买C种医用外科口罩
甲

0.2
0.4
乙
0.3

0.3

则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为(　　)
A．0.44 B．0.40 C．0.36 D．0.32
答案　D
解析　由表可知，甲购买A种医用外科口罩的概率为0.4，乙购买B种医用外科口罩的概率为0.4，
所以甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为P＝0.4×0.3＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.32.
12．(2022·泸州模拟)《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻)．若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　根据八卦图可知，八个卦中含有三个阳爻的有一个，为乾，有两个阳爻的有三个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有三个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有一个，为坤，
选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，
这种选法有CC＝3(种)；
也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有C＝3(种)，
从八卦中任取两卦的选法有C＝28(种)，
则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为＝.
13．(多选)(2022·重庆模拟)甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是(　　)
A．A1，A2为对立事件
B．P(B|A1)＝
C．P(B)＝
D．P(B|A1)＋P(B|A2)＝1
答案　ABC
解析　对于A，由于甲罐中只有红球和白球，故A正确；
对于B，当A1发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；
对于D，当A2发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，
故P(B|A1)＋P(B|A2)＝＋＝，故D错误；
对于C，P(B)＝×＋×＝，故C正确．
14．(多选)(2022·杭州质检)已知(1＋2x)n＋a(3－x)7＝a0＋a1x＋…＋a6x6(a≠0)，则(　　)
A．n＝6
B．a＝128
C.＋＋…＋＝7
D．a1＋2a2＋…＋6a6＝－64
答案　BC
解析　对于A，B选项，由等式右边最高次项为x6项，且不含x7项，
得n＝7且C·27＋a·C·30·(－1)7＝0，
即a＝128，故A错误，B正确；
对于C选项，等式两边同乘37，原等式等价于a0＋3a1＋…＋36a6＝77，
(1＋2x)7＋128(3－x)7＝a0＋a1x＋…＋a6x6，
令x＝3，则a0＋3a1＋…＋36a6＝(1＋2×3)7＋0＝77，故C正确；
[(1＋2x)7＋128(3－x)7]′＝(a0＋a1x＋…＋a6x6)′，
可得14(1＋2x)6－7×128(3－x)6＝a1＋2a2x＋…＋6a6x5，
令x＝1，则a1＋2a2＋…＋6a6＝14×36－7×128×26＝－47 138，D错误．
15．(2022·德州模拟)某一电子集成块由a，b，c三个元件并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为________．
答案　
解析　记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为仅有一个元件出现故障，
则事件为该集成块不能正常工作，
所以P(A)＝1－P()＝1－3＝，
P(B)＝C2＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
16．(2022·武汉质检)(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数为________．
答案　90
解析　由于(1＋x＋x2)6＝[1＋(x＋x2)]6，
所以其展开式的通项为C(x＋x2)r＝CCxr－kx2k＝CCxr＋k，
其中0≤k≤r≤6，r∈N，k∈N，
为得到(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数，则r＋k＝4，
当r＝2，k＝2时，x4的系数为CC＝15；
当r＝3，k＝1时，x4的系数为CC＝60；
当r＝4，k＝0时，x4的系数为CC＝15，
所以(1＋x＋x2)6展开式中x4的系数为15＋60＋15＝90.

[考情分析]　1.高考中主要考查两个计数原理、排列与组合的应用，对二项式定理的考查以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏下.2.高考中对此概率内容多以实际材料为背景，主要考查随机事件的概率及古典概型、条件概率的计算，也考查概率与统计的综合应用，选择题、填空题或解答题中均有出现，难度中等偏下．

一、排列与组合问题
核心提炼
1．两个计数原理
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
2．解排列组合问题要遵循两个原则：
一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
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题目
1
3
4
10





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二、二项式定理
核心提炼
1．二项式定理的常用结论
(1)(a－b)n＝Can－Can－1b＋Can－2b2＋…＋(－1)kCan－kbk＋…＋(－1)nCbn.
(2)(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn.
2．求解二项式有关问题时，一定要注意“二项式系数”与“项的系数”之间的区别与联系．
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题目
5
7
9
14
16




正误









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三、概率
核心提炼
1．古典概型的概率公式
P(A)＝＝.
2．条件概率
在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝.
3．相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
4．若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A)．
5．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)．
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题目
2
6
8
11
12
13
15


正误









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1．[T3补偿](2022·郑州模拟)志愿团安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，最后确定了不能先去甲和不能最后去丁．他们共有多少种不同的安排方法(　　)
A．14 B．12 C．24 D．28
答案　A
解析　根据题意，丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：
①丁扶贫点最先去，有A种安排方法；
②丁扶贫点安排在中间位置去，有CCA种安排方法，
综合①②知共有A＋CCA＝14(种)不同的安排方法．
2．[T13补偿](多选)(2022·广州模拟)一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是(　　)
A．P(A)＝
B．事件A和事件B互为对立事件
C．P(B|A)＝
D．事件A和事件B相互独立
答案　ACD
解析　选项A，P(A)＝＝＝，判断正确；
选项B，事件B：第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，则两次向下的数字之和为奇数，则事件A和事件B不是对立事件，判断错误；
选项C，P(AB)＝＝＝，
则P(B|A)＝＝＝，判断正确；
选项D，P(B)＝＝＝，
又P(A)＝，P(AB)＝，
则有P(A)P(B)＝P(AB)成立，则事件A和事件B相互独立，判断正确．
3．[T10补偿](2022·邵阳模拟)国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作，组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为(　　)
A．65 B．125 C．780 D．1 560
答案　D
解析　6人分成4组有两种方案：“2＋2＋1＋1”，“3＋1＋1＋1”，共有种方法，
4组分配到4个大门有A种方法，
根据分步乘法原理，不同的分配方法数为
·A＝1 560.
4．[T14补偿](多选)(2022·福建省永春第一中学模拟)杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断，下列说法正确的是(　　)
A．(x－1)6＝x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1
B．C＋4C＋6C＋4C＋C＝C
C．已知(1－3x)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为212
D．已知(x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则a1＋a2＋a3＋a4＝31
答案　AB
解析　对于A，因为(x－1)6的展开式为Tk＋1＝Cx6－k(－1)k，计算即可求出(x－1)6＝x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1，故A正确；
对于B，因为C＝C，所以C＋4C＋6C＋4C＋C＝5C＋10C＋7＝105＋350＋7＝462，而C＝＝462，故B正确；
对于C，根据题意得，C＝C，所以n＝10，原式变为(1－3x)10，令x＝1，所以所有项的系数和为(－2)10＝210，故C错误；
对于D，令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25，令x＝－1，得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，根据展开式通项公式，明显可见a5≠0，故D错误．
5．[T15补偿](2022·鹰潭模拟)小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了龙虎山景点”，则P(B|A)＝________.
答案　
解析　因为事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了龙虎山景点”，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
6．[T16补偿](2022·重庆调研)8的展开式中x2y2项的系数是________．
答案　420
解析　8表示的是8个1＋2x－相乘，
要得到x2y2，则其中有2个因式取2x，有两个因式取－，其余4个因式都取1，
所以展开式中x2y2 项的系数是
C22C2C＝420.