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    2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾8 计数原理、概率

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    这是一份2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾8 计数原理、概率,共4页。

     计数原理、概率

    1.解排列、组合问题的依据是:分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合.

    解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先选后排法;至多至少问题间接法.

    (1)排列数公式

    An(n1)(n2)[n(m1)],其中mnN*,且mn.mn时,An·(n1)··2·1n!,规定0!=1.

    (2)组合数公式

    C,其中mnN*mn.规定C1.

    (3)组合数性质

    CCCCC,其中mnN*mn.

    [检验1] (1)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为________.

    (2)3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).

    答案 (1)24 (2)590

    2.二项式定理

    (1)定理:(ab)nCanCan1bCanrbrCabn1Cbn(nN*).

    通项(展开式的第r1)Tr1Canrbr,其中C(r01n)叫做二项式系数.

    (2)二项式系数的性质

    在二项式展开式中,与首末两端等距离的两项的二项式系数相等,即

    CCCCCCCC.

    二项式系数的和等于2n(组合数公式),即

    CCCC2n.

    二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和,即CCCCCC2n1.

    注意 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,往往因为概念不清导致出错.

    [检验2] 设的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则AB________.

    答案 4

    3.互斥事件有一个发生的概率P(AB)P(A)P(B).

    (1)公式适合范围:事件AB互斥.

    (2)P()1P(A).

    [检验3] 某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.30.30.2,那么他射击一次不够8环的概率是________.

    答案 0.2

    4.古典概型

    P(A)(其中,n为试验中可能出现的结果总数,m为事件A在试验中包含的基本事件个数).

    [检验4] 从12364个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率为________.

    答案 

    5.条件概率

    (1)定义:一般地,设AB为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.

    (2)乘法公式:对任意事件AB,若P(A)>0,则P(AB)P(A)P(B|A),称上式为概率的乘法公式.

    (3)条件概率的性质:设P(A)>0,则

    P(Ω|A)10P(B|A)1

    如果BC是两个互斥事件,则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)

    B互为对立事件,则P(|A)1P(B|A).

    [检验5] 从一副不含大小王的52张扑克牌中,每次从中随机抽出1张扑克牌,抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌,则第2次抽到A牌的概率________.

    答案 

    6.全概率公式

    一般地,设A1A2An是一组两两互斥的事件,A1A2∪…∪AnΩ,且P(Ai)>0i12n,则对任意的事件BΩP(B)P(Ai)P(B|Ai).

    [检验6] 3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第23台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第123台车床加工的零件数分别占总数的25%30%45%.

    任取一个零件,它是次品的概率为________.

    答案 0.052 5

    7.离散型随机变量

    (1)离散型随机变量的分布列的两个性质

    pi0(i12n)

    p1p2pn1.

    (2)均值公式

    E(X)x1p1x2p2xnpnxipi.

    (3)均值的性质

    E(aXb)aE(X)b

    XB(np),则E(X)np

    X服从两点分布,则E(X)p.

    (4)方差公式

    D(X)[x1E(X)]2·p1[x2E(X)]2·p2[xnE(X)]2·pn,标准差为.

    (5)方差的性质

    D(aXb)a2D(X)

    XB(np),则D(X)np(1p)

    X服从两点分布,则D(X)p(1p).

    (6)独立事件同时发生的概率计算公式

    P(AB)P(A)P(B).

    (7)n重伯努利试验的概率计算公式

    P(Xk)Cpk(1p)nkk012n.

    [检验7] 若随机变量ξ的分布列如下表,则E(ξ)的值为________.

    ξ

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    P

    2x

    3x

    7x

    2x

    3x

    x

    答案 

    8.正态分布

    如果随机变量X服从正态分布,则记为XN(μσ2).

    满足正态分布的三个基本概率的值是

    P(μσXμσ)0.682 7

    P(μ2σXμ2σ)0.954 5

    P(μ3σXμ3σ)0.997 3.

    [检验8] (多选)正态分布N(1σ2)的正态密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是(  )

    A.P(X0) B.P(X2)

    C.P(X2)P(X0) D.P(1X2)

    答案 ABC

     

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