2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾8 计数原理、概率
展开计数原理、概率
1.解排列、组合问题的依据是:分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合.
解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法;综合问题先选后排法;至多至少问题间接法.
(1)排列数公式
A=n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]=,其中m,n∈N*,且m≤n.当m=n时,A=n·(n-1)·…·2·1=n!,规定0!=1.
(2)组合数公式
C===,其中m,n∈N*,m≤n.规定C=1.
(3)组合数性质
C=C,C+C=C,其中m,n∈N*,m≤n.
[检验1] (1)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为________.
(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).
答案 (1)24 (2)590
2.二项式定理
(1)定理:(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cabn-1+Cbn(n∈N*).
通项(展开式的第r+1项):Tr+1=Can-rbr,其中C(r=0,1,…,n)叫做二项式系数.
(2)二项式系数的性质
①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即
C=C,C=C,C=C,…,C=C.
②二项式系数的和等于2n(组合数公式),即
C+C+C+…+C=2n.
③二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和,即C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
注意 二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,往往因为概念不清导致出错.
[检验2] 设的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则A∶B=________.
答案 4
3.互斥事件有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B).
(1)公式适合范围:事件A与B互斥.
(2)P()=1-P(A).
[检验3] 某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3,0.3,0.2,那么他射击一次不够8环的概率是________.
答案 0.2
4.古典概型
P(A)=(其中,n为试验中可能出现的结果总数,m为事件A在试验中包含的基本事件个数).
[检验4] 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率为________.
答案
5.条件概率
(1)定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)乘法公式:对任意事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),称上式为概率的乘法公式.
(3)条件概率的性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)=1,0≤P(B|A)≤1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
③设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).
[检验5] 从一副不含大小王的52张扑克牌中,每次从中随机抽出1张扑克牌,抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌,则第2次抽到A牌的概率为________.
答案
6.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai).
[检验6] 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
任取一个零件,它是次品的概率为________.
答案 0.052 5
7.离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i=1,2,…,n);
②p1+p2+…+pn=1.
(2)均值公式
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi.
(3)均值的性质
①E(aX+b)=aE(X)+b;
②若X~B(n,p),则E(X)=np;
③若X服从两点分布,则E(X)=p.
(4)方差公式
D(X)=[x1-E(X)]2·p1+[x2-E(X)]2·p2+…+[xn-E(X)]2·pn,标准差为.
(5)方差的性质
①D(aX+b)=a2D(X);
②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);
③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)=P(A)P(B).
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
[检验7] 若随机变量ξ的分布列如下表,则E(ξ)的值为________.
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P | 2x | 3x | 7x | 2x | 3x | x |
答案
8.正态分布
如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
满足正态分布的三个基本概率的值是
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
[检验8] (多选)正态分布N(1,σ2)的正态密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是( )
A.-P(X≤0) B.-P(X≥2)
C.P(X≤2)-P(X≤0) D.-P(1≤X≤2)
答案 ABC
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