初中数学13.4课题学习 最短路径问题复习练习题

第8讲  最短路径问题

知识点1 将军饮马问题（一）                                                            

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． 诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？  

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．                                                        

解决办法： 从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：

则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

【典例】

1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．

【答案】略．

【解析】解：作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，如图所示．

则点P即为所求点．

【方法总结】

【随堂练习】

1．（2018•上虞区模拟）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．4 D．3

【解答】解：在射线OB上截取一点Q′，使得OQ′=OQ，则△OPQ≌△OPQ′，可得PQ=PQ′．作AH⊥OB于H．

∴PA+PQ=PA+PQ′，

∴当A、P、Q′共线，且垂直OB时，PA+PQ′的值最小，最小值为AH，

在Rt△ABH中，∵OB=AB=8，∠ABH=30°，

∴AH=AB=4，

∴PA+PQ的最小值为4，

故选：C．

知识点2 将军饮马问题（二）

【典例】

1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，

（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．

（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．

【答案】略．

【解析】解：（1）作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．如下图所示：

此时，△PEF的周长最小．

（2）连接OC，OD，PE，PF．如下图所示：

∵点P与点C关于OA对称，

∴OA垂直平分PC，

∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，

同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．

∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB，

OC=OD=OP=4，

∴∠COD=2∠AOB，即∠AOB=∠COD，

又∵△PEF的周长=PE+EF+FP

=CE+EF+FD

=CD

=4，

∴OC=OD=CD=4，

∴△COD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=∠COD

=×60°

=30°．

故答案为：30°．

【方法总结】

【随堂练习】

1．（2017秋•东城区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A．140° B．100° C．50° D．40°

【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则

OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，

根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则

△PMN的周长的最小值=P1P2，

∴∠P1OP2=2∠AOB=80°，

∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，

∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°，

故选：B．

知识点3 造桥选址问题

【典例】

【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．

天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．

【答案】略．

【解析】解：作法：①将点A竖直向下平移到点A′，使AA′=20，

②连接A′B，与l2交于点P，

③过点P作PQ⊥l1于Q，

④连接AQ、BP．

则天桥建在PQ处能使由A经过天桥走到B的路程最短，如图2所示；

【方法总结】

1.”造桥选址”问题解答方法：

注意：如果要求架桥到两地的距离相等，则需要根据“中垂线上的点到线段两端点的距离相等”来进行设计.

2.勾股定理

如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c².即直角三角形中两直角边的平分和等于斜边的平分，如下图所示：

注：勾——最短的边，股——较长的直角边，弦——斜边.

“造桥选址”问题中桥的长度的计算通常借助勾股定理来解决.

（选学）知识点4 几何图形中的最短距离问题

【典例】

1.（1）问题发现：

如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．

作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）

（2）解决问题：

如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．

①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）

②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））

（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】略．

【解析】解：（2）如图2所示：点P为所求，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=4，

∵E为AB的中点，

∴AE=BE=2，

∵在Rt△AEC中，AC=4，AE=2，

∴根据勾股定理可得，AC²=AE²+EC²，即4²=2²+EC²，

解得，CE=2，

∵AD⊥BC，AB=AC，

∴可知AD垂直且平分BC，

∴BP=CP，

∴BP+PE=CP+PE

=CE

=2，

故这个最短距离为：2，

（3）作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′，D′与OM，ON的交点分别就是C，B二点．连接DD′，AA′，OA′，OD′．如图3所示：

则此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离，

∵D关于OM的对称点为点D′，A作关于ON的对称点为点A′，

∴OD=OD′，OA=OA′，∠NON=∠D′OM，∠NON=∠A′ON，

∴∠OAA′=∠NON+∠A′ON

=∠NON+∠NON

=2∠NON

=2×30°

=60°，

即∠OAA′=60°，

∵OA=OA′，∠AOA′=60°，

∴∠OAA′=∠OA′A=60°，

∴△OAA′是等边三角形．

同理△ODD′也是等边三角形．

∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，

∵∠NON=∠D′OM，∠NON=30°，

∴∠D′OM=30°，

∴∠D′OA′=∠OAA′+∠D′OM

=60°+30°

=90°．

∵在Rt△A′OD′中，OD'=24，OA′=7，

∴根据勾股定理可得，A′D′²= OD'²+ OA′²，即A′D′²= 24²+ 7²，

解得，A′D′=25．

故答案为：25．

【方法总结】

   综合运用

1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．

【答案】2018．

【解析】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，如下图所示：

则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，MP=P1M，PN=P2N，

△PMN的周长的最小值=P1P2，

∵∠AOB=30°，

∴∠P1OP2=∠P1OA+∠POA+∠POB+∠P2OB

=∠POA +∠POA+∠POB+∠POB

=2（∠POA+∠POB）

=2∠AOB

=60°，

∴△OP1P2是等边三角形．

∴P1P2=OP1=OP2，

∵OP=OP2=2018，

∴P1P2 =2018．

故答案为：2018．

2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．

【答案】2．

【解析】解：连接EC交于AD于点P，如下图所示．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC．

∴AD是BC的垂直平分线．

∴PB=PC．

∴PE+PB=EP+PC=EC．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠EAC=∠ACD=60°，AB=BC．

∵点E和点D分别是AB和BC的中点，

∴AE=AB，DC=BC，

∴AE=DC．

∵在△ACE和△CAD中，，

∴△ACE≌△CAD．

∴EC=AD=2．

故答案为：2．

3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．

【解析】解：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，

如图所示：

则点C即为所求点．

4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．

【解析】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，如下图所示：

则△PP1P2即为所求．

理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，

∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2

=EP1+P1P2+P2F

=EF，

根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．

5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）

【解析】解：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，如下图所示：

沿AC﹣CD﹣DB路线走是最短的路线，如下图所示： 

证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，

如下图所示：

∵A、E关于ON对称，

∴AC=EC，AE=ET 

同理BD=FD，FR=BR，

∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，

AT+TR+BR=ET+TR+FR，

∵ET+TR+FR＞EF，

∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，

即沿AC﹣CD﹣DB路线走是最短的路线．

6. 已知点P在∠MON内．

（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．

①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；

②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；

（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

【解析】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，

∴OG=OP，OM⊥GP，

∴OM平分∠POG，

同理可得ON平分∠POH，

∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，

故答案为：100°；

②∵PO=5，

∴GO=HO=5，

当∠MON=90°时，∠GOH=180°，

∴点G，O，H在同一直线上，

∴GH=GO+HO=10；

故答案为：10.

（2）分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，

连接PA、PB，如下图所示：

则AP=AP'，BP=BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．

由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，

∴∠P′OP″=∠P′OA+∠POA+∠P″OB+∠POB

=∠POA +∠POA+∠POB +∠POB

=2（∠POA+∠POB）

=2∠MON

=2×60°

=120°，

∴∠OP′P″=∠OP″P′

=（180°﹣∠P′OP″）÷2

=（180°﹣120°）÷2

=30°，

又∵∠OPP'=∠OP'P，∠APP'=∠AP'P，

∴∠APO=∠AP′O=30°，

同理可得∠BPO=∠OP″B=30°，

∴∠APB=∠APO+∠BPO

=30°+30°

=60°．

故∠APB的度数为：60°．

7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：

（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．

（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？

【解析】解：（1）设桥为 CD，则这个问题中的路线为 AC、CD、DB 三条线段之和．经观察，不难发现其中的线段 CD 是定值，因此只需要考虑使 AC+DB 最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移 DB 到 CB′，此时连接 AB′交l于P，得桥址．

（2）如图②，作点B关于街道的对称点B2，连接AB2，作AB2的垂直平分线，与街道靠近A的一侧相交于点A2，过A2点建桥即符合要求．

【补充练习】

1．（2019春•青羊区期末）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于．

根据两点之间，线段最短，可知选项修建的管道，所需管道最短．

又由垂线段最短，可知铺设的管道最短的方案是选项．

故选：．

2．（2019春•宁德期末）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是　　

A．10 B．11 C．11.5 D．13

【解答】解：直线垂直平分，

、关于直线对称，

设直线交于，

当和重合时，的值最小，最小值等于的长，

周长的最小值是．

故选：．

3．（2018秋•南岸区校级期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，

，，

，

，

，

故选：．

4．（2019•港南区四模）如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为　　

A．5 B．6 C．8 D．10

【解答】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、．

点关于的对称点为，关于的对称点为，

，，；

点关于的对称点为，

，，，

，，

是等边三角形，

．

的周长的最小值，

故选：．

5．（2019•芜湖县二模）如图，在中，，，为上一动点，是上一动点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：作点关于的对称点，过点作，

则的最小值为的长；

，，

，，

；

故选：．

6．（2018秋•遵义期末）在中，，点在边上（不与、点重合），点、点分别是、边上的动点，当的周长最小时，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接交于，交于，

则此时的周长最小，

，，

，

，

，，

，，

，

，

故选：．

7．（2018秋•通州区期末）如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图连接，

，，

，

，

，

，

、、共线时，的值最小，最小值为的长度，

故选：．