初一数学北师大版春季班 第8讲 三角形--尖子班 试卷

第8讲 三角形

 知识点1 三角形的三边关系

1、三角形三条边之间的关系：

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．

2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”

【典例】

例1 （2020秋•武昌区期中）如图，填空：

由三角形两边的和大于第三边，

得AB+AD＞________；

PD+CD＞________．

将不等式左边、右边分别相加，

得AB+AD+PD+CD＞________，

得AB+AC＞________．

【方法总结】

本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

例2（2020秋•江岸区校级期中）若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程组，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．

【方法总结】

本题考查三角形的三边关系，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

【随堂练习】

1．（2020春•越秀区校级期中）已知a、b、c为三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a﹣c+b|．

2．（2020秋•濉溪县期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长．

3．（2020秋•庆阳期中）在△ABC中，若BC＝8，AC＝6，求AB的取值范围．

知识点2 三角形的中线

三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．

三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。

【典例】

例1（2020秋•浦北县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝________．

【方法总结】

本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为AB和AC的差是解题的关键．

例2 （2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．

（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．

（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？

【方法总结】

此题考查三角形的中线、高、角平分线，关键是根据三角形中线的性质解答．

【随堂练习】

1．（2020秋•开福区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝________．

2．（2020秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，则边AC的长为________．

知识点3三角形的高线

1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．

2、三角形的面积：

（1）三角形的面积：底与高乘积的一半

（2）等底等高的两个三角形面积相等

（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比

【典例】

例1（2020•白云区模拟）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是________cm．

【方法总结】

本题主要考查了三角形角平分线、中线和高．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高．

【随堂练习】

1．（2020秋•集贤县期中）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段________是△ABC中AC边上的高．

2．（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有________个．

知识点4 三角形的角平分线

1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．

2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。

3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。

【典例】

例1 （2020春•靖远县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝________．

【方法总结】

本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•昆明期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）

A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 

C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高

知识点5 三角形的内角和定理

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°

【典例】

例1（2020秋•张湾区期中）如图，在△ABC中，∠A＝48°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，DF∥CE，∠D＝40°，求∠B的度数．

【方法总结】

本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠ACB的度数是解题的关键．

例2 （2020春•番禺区校级期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，∠ABC＝64°，∠AEB＝70°．求∠CAD的度数．

【方法总结】

本题考查了三角形的内角和定理在角度求值中的应用，数形结合并熟练掌握相关定义及定理是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数．

2．（2020秋•烈山区期中）如图，BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A＝110°，则∠BOC的度数为（　　）

A．145° B．140° C．135° D．120°

3．（2020秋•兰州期末）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝________°．

知识点6 三角形的外角性质

1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．

2、三角形外角的性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

3、燕尾形

结论：

【典例】

例1（2020春•南岗区校级月考）如图，若∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，则∠BDC＝（　　）

A．102° B．160° C．150° D．140°

【方法总结】

本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．

例2（2020秋•顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．

（1）求∠B的度数；

（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．

【方法总结】

本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

例3 （2020秋•平舆县期中）已知：如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．

（1）当∠ABO＝70°时、∠D的度数是多少？

（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．

【方法总结】

本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，利用三角形的外角性质及角平分线的定义，用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度数是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•全椒县期中）如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．

（1）如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；

（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

2．（2020秋•庐阳区校级期中）如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．

（1）求∠CAF的度数；

（2）求∠AFC的度数．

3．（2020秋•硚口区校级月考）（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一点，PE⊥AD于P交直线BC于点E，交直线AB、AC于F、G，若∠B＝50°，∠BCA＝70°时，∠PED＝　10　度；

（2）如图2，AD平分∠BAC的外角，其余条件不变，若∠B＝α，∠BCA＝β，求∠PED的度数；（用含有α，β的式子表示）．

综合运用

1．（2020秋•确山县期中）如图△ABC中，AB＝21，AC＝20，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝________．

2．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．

3．（2020秋•吉林期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．

（1）求∠BAE的度数；

（2）求∠DAE的度数．

4．（2020秋•太原期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

5．（2020秋•荔湾区期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）

A．120° B．105° C．60° D．45°

6．（2020秋•庆阳期中）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；

【问题探究】

（2）如图2，直线AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，若∠ABC＝32°，∠ADC＝22°，求∠P的度数．

7．（2020春•双阳区期末）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝________度，∠P＝________度．

（2）∠A与∠P的数量关系为________________，并说明理由．

【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为________________．

8．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．

①∠BAC＝________°，∠DAE＝________°；

②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；

（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．

9．（2020秋•江岸区校级月考）如图1，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠DAE的度数；

（2）如图2，AD平分∠BAC，P是AD延长线上一点，过P作PE⊥BC，求证：∠P（∠C﹣∠B）．