初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质练习题

第5讲  相似三角形

知识点1相似三角形的判定

相似三角形的概念

相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.

1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似．

2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．

（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；

（2）求证：△PAN∽△PMB．

3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．

求证：△ABC∽△DEF．

4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过

P作PF⊥AE于F．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

【方法总结】

（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：

①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.

（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）

（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.

【随堂练习】

1．（2019•海淀区校级模拟）如图，在中，，，

（1）图1中共有　　对相似三角形，写出来分别为　　（不需证明）；

（2）已知，，请你求出的长；

（3）在（2）的情况下，如果以为轴，为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系（如图，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，点出点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2017秋•顺德区期末）如图，，，是上一点，使得；

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）当时，请写出线段、、之间数量关系，并说明理由．

3．（2018•相山区二模）已知如图，于点，于点，，，．则在上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与、、为顶点的三角形相似，如果存在求出的长，如果不存在，说明理由．

4．（2018秋•宜兴市校级月考）已知：如图，已知中，，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度分别是和，当点到达点时，、两点停止运动．设运动时间为，问：当为何值时，

与相似？

知识点2 相似三角形的性质

相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

(3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．

2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．

（1）求BD的长；

（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．

【方法总结】

1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．

2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等

【随堂练习】

1．（2018•梁子湖区模拟）如图，，，，为的中点，，将绕点旋转一周， 直线，交于点，连接，则的最小值是　　

A ． B ． C ． 3 D ．

2．（2018•宁波模拟）如图是一个由、、三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，、、的纸片的面积分别为、、，与，与的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若，则这个矩形的面积一定可以表示为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

3．（2018秋•青羊区校级月考）如图，在中，，，，点是线段上一动点，连接，以为边作，点是的中点，连接，当线段最短时，线段的长为　　．

4．（2018•凉山州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，将绕点，逆时针旋转得到△，，交轴于，若△△，则点的坐标　　．

三．解答题（共2小题）

5．（2018•惠山区校级一模）（1）如图1，中，若，，，且，求的长；

（2）如图2，已知，若边上存在一点，若边上存在一点，使，且，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．

6．（2017秋•宝丰县期末）如图，点、在线段上，是等边三角形，且．

（1）求的大小．

（2）说明线段、、之间的数量关系．

知识点3相似三角形的综合应用

【典例】

1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．

2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．

3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　　．

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）

【方法总结】

相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半

【随堂练习】

1．（2019•莱芜区）如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点．

（1）求证：为的切线；

（2）若，求的值．

2．（2019•淄博）如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

3．（2019•丹江口市模拟）如图，是的直径，点在上，，，连结，，且与相交于点．

（1）求证：与相切；

（2）若的半径为3，且，求的值．

4．（2019•麻城市校级自主招生）如图，四边形内接于，是的直径，和相交于点，且．

（1）求证：

（2）分别延长，交于点，若，，求的半径．

5．（2018秋•镇海区期末）如图，在中，，，点、分别在、上，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

6．（2018秋•诸暨市期末）如图，在中，是角平分线，是上的一点，且．

求证：．

7．（2019•武汉模拟）在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．

（1）如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）

8．（2018•包河区二模）已知：正方形中，，为边中点，为边中点，交于，交于，连接．

（1）求证：；

（2）求的值；

（3）求的值．

  综合运用：相似三角形

1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．

（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；

（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．

2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．

3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．

4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是　  　，说明理由；

（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？

5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．

（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．

（2）求∠1+∠2的度数．

6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：

△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．

小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．

【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：

△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．