北师大版九年级上册8 图形的位似习题

第6讲  相似模型总结

知识点1 平行线型

平行型：（A型、X型） 

 （1）如图1所示，△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，可以得到的比例线段主要有AD：AB＝AE：AC＝DE：BC;   AD：BD＝AE：EC．

   （2）如图2所示，线段AB∥线段CD，且AD、BC交于点E，则△ABE∽△DCE，可以得到的比例线段主要有AB：CD＝AE：DE＝BE：EC．

【典例】

1.如图，和相交于点，.

⑴       证明：，.

⑵       求证：.

2.如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．

【方法总结】

此类型的题目主要是观察出平行线构造出的相似模型，如果没有的话则需要添加辅助线，构造基本相似模型.

【随堂练习】

1．（2018春•九龙坡区校级期中）已知如图，△ABC中，点D是边AC上的一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，若CD=2，BF=，BC=3，，求DE及CE的长．

知识点2 垂直型

如图所示，△ABC中，∠BAC是直角，并且高AD把这个三角形分成两个小直角三角形，这时候△ABC与这两个三角形都是相似的.

【典例】

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，

（1）写出图中所有相似三角形：　   　（不需证明）；

（2）如果AB=10，AC=8，以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如下图），求点A、点B、点C坐标；

（3）在（2）的情况下，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒．是否存在点Q，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【方法总结】

垂直模型的特征比较明显，一定是出现在直角三角形中，解题时候很好辨认出该模型，解题时，可以根据射影定理进行计算求解（直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）

【随堂练习】

1．（2018春•昌平区期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．

知识点3 斜交型（反A）

如图3中的△ADE和△ACB，图4中的△ACD和△ABC，都有一个公共角相等，只需要知道另一对角相等，就可得到相似，这样的相似属于反A共角形相似．

对于平行中的八字形也有类似的变式，如图所示，△ABJ和△CDJ相似

【典例】

1.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为_______

2.如图，添加一个条件：　   　，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

【方法总结】

斜交型解题时难点在于对应角和对应边的关系，千万不能写错，有一个简单的方法是短边对短边，长边对长边，根据两个三角形中线段直观长度进行判断对应边，但是动点题要谨慎使用这个方法

【随堂练习】

1．如图，BD，CE是△ACB的高，求证：△ADE∽△ABC．

2．（2018•泸县校级一模）如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．

知识点4 旋转型

如图1，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，则△ACD∽△BEC；如图2，∠A＝∠B＝∠DCE，

则ACD∽△BEC；图1、图2这样的相似模型叫做“K”型

 由A字旋转得到的图形，也是常考的相似模型，如下图所示

【典例】

1.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

2.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

【方法总结】

旋转型是相似模型中综合度最高的一类，往往结合其他知识一起出题，解题时旋转的那个角一般是相似证明过程中的一组对应角之一，利用好这个特征， 根据它所在的三角形就比较容易判断出相似模型了.

【随堂练习】

1．（2017•铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．

求证：△ABC∽△AED．

   综合运用：相似模型总结

1.已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（-4，0），

B（0，3）

（1）求AB的长；

（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．

2.如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．

（1）求证：AD∥BC；

（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．

3.探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：

（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE，根据　        　（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：　         　．

（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；

（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示）

4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G

（1）求证：BD∥EF；

（2）若=，BE=4，求EC的长．