北师大版2 平面直角坐标系精练

第4讲 平面直角坐标系

知识点1 有序数对

像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．

注意：当时，和是不同的两个有序数对．

【典例】

1.如下图所示，B表示为（4，5），B左侧第二个人的位置是 （   ）

A. （2，5）        B. （5，2）        C. （2，2）        D. （5，5）

2.如下图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为？

 【方法总结】

第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置．

第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2，4）和点（4，2）；理解题意，因为“走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线．由此一一找出符合条件的线段．

【随堂练习】

1．（2018春•宁晋县期末）以下描述中，能确定具体位置的是（　　）

A．万达电影院2排 B．距薛城高铁站2千米

C．北偏东30℃ D．东经106℃，北纬31℃

2．（2018春•沙河市期末）如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（﹣10，20）表示的位置是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D

3．（2018春•定陶区期末）下列数据不能确定物体位置的是（　　）

A．5楼6号 B．北偏东30°

C．大学路19号 D．东经118°，北纬36°

知识点2 各象限内点的坐标特征

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做横轴或轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．

2、象限

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．

3、点的坐标

对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．如下图为A（4，5）点坐标．

坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．

注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．

4、各象限内点的坐标特征

点在第一象限；

点在第二象限；

点在第三象限；

点在第四象限．

【典例】

1.在平面直角坐标系中，到x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长度的点有____________．

2.已知点M（a，b），且a•b＞0，a+b＜0，则点M在第______象限．

 【方法总结】

第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值．

第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于a•b＞0，则a、b同号，而a+b＜0，可得a＜0，b＜0．同理当 a•b＞0，a+b>0时，可得a>0，b>0．

四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

【随堂练习】

1．若xy＞0，且x+y＜0，则点P（﹣x，x+y）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（2018•攀枝花）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（2018•港南区一模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

知识点3 坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征

1、坐标轴上点的坐标特征：

点在轴上，为任意实数；

点在轴上，为任意实数；

点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．

2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：

点在第一、三象限夹角的角平分线上；

点在第二、四象限夹角的角平分线上．

【典例】

1.如果点P（a，b）在x轴上，那么点Q（ab，﹣1）在（　　）

A. y轴的正半轴上     B. y轴的负半轴上

C. x轴的正半轴上        D. x轴的负半轴上

 2.已知点P的坐标（2﹣a，3a+6），且点P在二四象限角平分线上，则点P的坐标是_________．

 【方法总结】

第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为0；点在y轴上时，横坐标为0．

第二题考查坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数．

【随堂练习】

1．（2017秋•赫章县期末）点（2，3），（1，0），（0，﹣2），（0，0），（﹣3，2）中，不属于任何象限的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（2017秋•埇桥区期末）点A在x轴上，且到坐标原点的距离是2，则点A的坐标为（　　）

A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2）或（0，2） D．（﹣2，0）或（2，0）

3．（2018春•乌拉特前旗期末）已知点P（0，a）在y轴的负半轴上，则点Q（﹣a2﹣1，﹣a+1）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（2018春•定州市期末）点P（m+3，m+1）在直角坐标系x轴上，则点P坐标为（　　）

A．（0，﹣2） B．（0，2 C．（﹣2，0） D．（2，0）

知识点4  规律性--点的坐标

在平面直角坐标系内找点的规律：

1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；

2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；

3、要注意所求点的横、纵坐标的正负．

【典例】

1.在平面直角坐标系xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到A1，逆时针旋转90°后前进2个单位长度到达A2，逆时针旋转90°后前进3个单位长度到达A3，…，逆时针旋转90°后前进2018个单位长度到达点A2018，则点A2018的坐标为________．

 【方法总结】

此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐标规律，即可判断点A2018在第一象限；再观察第一象限内的点A2（1，2），A6（3，4），A10（5，6）的规律，发现第一象限内的点An的横坐标为，纵坐标为，所以第一象限内点A的坐标为，所以点A2018点的坐标为（1009，1010）．

【随堂练习】

1．对有序数对（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）=（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）=P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）=（3，﹣1），P2（1，2）=P1（P1（1，2））=P1（3，﹣1）=（2，4），P3（1，2）=P1（P2（1，2））=P1（2，4）=（6，﹣2），则P2016（1，﹣1）=（　　）

A．（0，21007） B．（21007，﹣21007） C．（21008，﹣21008） D．（0，21008）

2．如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2016秒时，OP的长度是（　　）

A．1008 B．1009 C．2016 D．1008π

3．（2018•广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（　　）

A．504m2 B．m2 C．m2 D．1009m2

综合运用

1.如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示____________．

2.如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（_______）→（_______）→（_______） → （1，3）．（答案不唯一）

3.已知点A（3a，2b）在x轴上方，y轴的左边，则点A到x轴、y轴的距离分别为____________．

4.已知点（a，b）在笫二象限．则点（ab，a﹣b）在第_________象限．

5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第41个正方形（实线）四条边上的整点个数共有_______个．

6. 如图，在直角坐标系中，一只蚂蚁从点P（0，1）出发，沿着图示折线方向移动，第一次到达点（1，1），第二次达到点（1，0），第三次达到点（1，﹣1），第四次达到点（2，﹣1），…，按照这样的规律，第2018次到达点的坐标应为_______．

7.请写出点A，B，C，D，的坐标．

8.已知点P的坐标为（2m﹣1，m+7）．

（1）若点P在x轴上，试求m的值；

（2）若点P在二四象限的角平分线上，求m的值；

9.已知：P（4x，x﹣3）在平面直角坐标系中．

（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；

（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．

10.已知平面直角坐标中有一点M（2﹣a，3a+6），点M到两坐标轴的距离相等，求M的坐标．